Question

13．现用棱长为1cm的若干小立方体，按如图所示的规律在地上搭建若个几何体．图中每个几何体自上而下分别叫第一层，第二层…第n层（n为正整数），其中第一层摆放一个小立方体，第二层摆放4个小立方体，第三层摆放9个小立方体…，依次按此规律继续摆放．
（1）求搭建第4个几何体需要的小立方体个数；
（2）为了美观，若将每个几何体的所有露出部分（不包含底面）都喷涂油漆，已知喷涂1cm²需要油漆0.2g．
①求喷涂第4个几何体需要油漆多少g？
②求喷涂第n个几何体需要油漆多少g？（用含n的代数式表示）

Answer 1

分析 （1）观察得到每层向上的面都为正方形，即每层的个数都为平方数，则搭建第4个几何体的小立方体的个数=1+4+9+16；第n个几何体第n层的个数为n²，所以总数为1+2²+3²+4²+…+n²；
（2）①喷漆第四个几何露在外面的表面积为：4×（1+2+3+4）+4²=56（cm²），再用表面积×0.2，即可解答．
②第n个几何体的所有露出部分（不含底面）的面积=4×（1+2+3+…+n）+n²，化简后乘以0.2即可．

解答 解：（1）搭建第4个几何体的小立方体的个数=1+4+9+16=30；
（2）①喷漆第四个几何露在外面的表面积为：4×（1+2+3+4）+4²=56（cm²），
56×0.2=11.2（g）．
②第n个几何体的所有露出部分（不含底面）的面积=4×（1+2+3+…+n）+n²=4×$\frac{n（n+1）}{2}$+n²=3n²+2n，
所以所需要的油漆量=（3n²+2n）×0.2=（0.6n²+0.4n）g．

点评 此题主要考查了图形的变化类：通过特殊图象找到图象变化，归纳总结出规律，再利用规律解决问题．也考查了三视图．