Question

如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC；
（1）求作∠A的平分线AD交BC于D（尺规作图，保留作图痕迹，要写作法，不证明）
（2）在完成（1）后，求证：AB=AC+CD．

Answer 1

（1）解：作法：
①在AB上截取AH=AC，
②分别以C，H点为圆心，大于的长度为半径画弧，设两弧交于点M，
③做射线AM，设AM与BC交于点D，
④则AD为∠A的平分线，

（2）证明：作DE⊥AB于E，
∵∠C=90°，AC=BC，
∴∠B=∠ECB=45°，
∴DE=BE，
∵在△ACD和△AED中，
，
∴△ADC≌△ADE（AAS），
∴AC=AE，CD=DE，
∵AB=AE+BE，
∴AB=AC+CD．
分析：（1）根据角平分线的性质，首先在AB上截取AH=AC，再分别以C，H点为圆心，大于的长度为半径画弧，设两弧交于点M，做射线AM，设AM与BC交于点D，则AD为∠A的平分线；
（2）作DE⊥AB于E，根据等腰直角三角形的性质可知∠B=∠ECB=45°，可DE=BE，再通过证△ADC≌△AEC，推出AC=AE，CD=DE，然后通过等量代换即可推出结论．
点评：本题主要考查全等三角形的判定，角平分线的性质，关键在于根据题意正确的画出图形，正确的推出相关的三角形全等．