Question

3．正三角形ABC的边长为6，求它的中心角、半径和边心距．

Answer 1

分析 设正三角形ABC的中心为O连接OB，OC，作OD⊥BC于D，则∠BOC=120°，BD=CD=$\frac{1}{2}$BC=3，由等腰三角形的性质得出∠OBC=30°，得出OB=2OD，由三角函数求出OD=$\frac{\sqrt{3}}{3}$BD=$\sqrt{3}$，得出OB=2$\sqrt{3}$即可．

解答 解：设正三角形ABC的中心为O连接OB，OC，作OD⊥BC于D，如图所示：
则∠BOC=$\frac{360°}{3}$=120°，BD=CD=$\frac{1}{2}$BC=3，
∵OB=OC，
∴∠OBC=30°，
∴OB=2OD，OD=$\frac{\sqrt{3}}{3}$BD=$\sqrt{3}$，
∴OB=2$\sqrt{3}$；
即正三角形的中心角为120°，半径为2$\sqrt{3}$，边心距为$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了正多边形和圆、正三角形的性质、含30°角的直角三角形的性质、三角函数；熟记正三角形的性质是解决问题的关键．