Question

如图，⊙O的直径AB是4，过B点的直线MN是⊙O的切线，D、C是⊙O上的两点，连接AD、BD、CD和BC．
（1）求证：∠CBN=∠CDB；
（2）若DC是∠ADB的平分线，且∠DAB=15°，求DC的长．

Answer 1

（1）证明：∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB=∠ADC+∠CDB=90°， ∵MN切⊙O于点B， ∴∠ABN=∠ABC+∠CBN=90°， ∴∠ADC+∠CDB=∠ABC+∠CBN； ∵∠ADC=∠ABC， ∴∠CBN=∠CDB； （2）解：如图，连接OD、OC，过点O作OE⊥CD于点E； ∵CD平分∠ADB， ∴∠ADC=∠BDC， ∴弧AC=弧BC， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB=90°， ∵DC是∠ADB的平分线， ∴∠BDC=45°， ∴∠BOC=90°； 又∵∠DAB=15°， ∴∠DOB=30°， ∴∠DOC=120°， ∵OD=OC，OE⊥CD， ∴∠DOE=60°， ∴∠ODE=30°， ∵OD=2， ∴OE=1，DE=， ∴CD=2DE=2．