Question

如图，抛物线F：y=ax²+bx十c（a＜0）与y轴交相交于点C（0．t）．直线CD经过点C且平行于x轴，设直线CD与抛物线F的交点为点C、D．抛物线F与x轴的交点为点A，B，连接AC、BC．
（1）当a=-，b=-，t=2时，探究△ABC的形状，并说明理由．
（2）若△ABC为直角三角形，求t的值（用含a的式子表示）．
（3）在（2）的条件下，若点B关于y轴的对称点B′．且BB′=BC，连接AD，求梯形ABCD的面积（用含a的式子表示）．

Answer 1

解：（1）当a=-，b=-，t=2时，△ABC是直角三角形．理由如下：
由题意，得-x²-x+2=0，
解得x₁=1，x₂=-4，
∴A（-4，0），B（1，0），AB=5，
又∵C（0，2），OC⊥AB，
∴AC²=OA²+OC²=16+4=20，BC²=OB²+OC²=1+4=5，
∴AC²+BC²=20+5=25=AB²，
∴∠ACB=90°，
∴△ABC是直角三角形；

（2）∵△ABC为直角三角形，
∴∠ACB=90°，
∵OC⊥AB，
∴∠AOC=∠COB=90°，∠OAC=∠OCB=90°-∠OCA，
∴△AOC∽△COB，
∴OA：OC=OC：OB，
∴OC²=OA•OB．
设抛物线y=ax²+bx十c与x轴的交点A的坐标为（x₁，0），B的坐标为（x₂，0），
则x₁•x₂==，
∴t²=-x₁•x₂=-，
解得t₁=-，t₂=0（不合题意舍去），
故所求t的值为-；

（3）如图，连接B′C、B′D．
∵点B关于y轴的对称点B′，
∴BC=B′C，
∵BB′=BC，
∴BB′=BC=B′C，
∴∠CBB′=∠BCB′=60°，
∴∠ACB′=∠ACB-∠BCB′=90°-60°=30°，
∴∠B′AC=∠CB′B-∠ACB′=60°-30°=30°，
∴∠ACB′=∠B′AC，
∴AB′=B′C=B′B，
∴B′为AB中点，B′在对称轴上．
易证△AB′D、△B′CD、△B′BC是全等的等边三角形，
∴梯形ABCD的面积=△B′BC面积的3倍=△OBC面积的6倍．
∵在Rt△OBC中，∠BOC=90°，∠OBC=60°，OC=t=-，
∴OB==-=-，
∴梯形ABCD的面积=6××（-）×（-）=．
分析：（1）先将a=-，b=-，t=c=2代入y=ax²+bx+c，再令y=0，得-x²-x+2=0，解方程求出x₁=1，x₂=-4，得到A、B两点的坐标，且求出AB=5，再根据勾股定理分别计算出AC²、BC²，然后根据勾股定理的逆定理即可判断△ABC是直角三角形；
（2）由于∠CAB与∠CBA都是锐角，所以当△ABC为直角三角形时，∠ACB=90°，根据两角对应相等的两三角形相似得出△AOC∽△COB，由相似三角形对应边成比例得到OC²=OA•OB．设抛物线y=ax²+bx十c与x轴的交点A的坐标为（x₁，0），B的坐标为（x₂，0），根据一元二次方程根与系数的关系得出x₁•x₂==，则t²=-x₁•x₂=-，解方程求出t的值即可；
（3）连接B′C，先由轴对称的性质及BB′=BC，得出△BCB′是等边三角形，再证明∠ACB′=∠B′AC=30°，得出B′为AB中点，B′在对称轴上．易证△AB′D、△B′CD、△B′BC是全等的等边三角形，则梯形ABCD的面积=△B′BC面积的3倍=△OBC面积的6倍，解Rt△OBC，得出OB==-，则梯形ABCD的面积可求．
点评：本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有二次函数与一元二次方程的关系，勾股定理及其逆定理，相似三角形、等边三角形、全等三角形的判定与性质，轴对称的性质，解直角三角形，梯形的面积，综合性较强，难度适中，运用数形结合思想是解题的关键．