Question

19．如图，正方形ABCO的边长为1，顶点A、C分别在x、y轴上，以AB为边向右作等边三角形ADB，点P为对角线AC上的动点．
（1）点B的坐标为（1，1），点D的坐标为（1+$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1}{2}$）；当点P的坐标为（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$）时，PO+PB的值最小（坐标可保留根号）；
（2）将AP绕点A顺时针旋转60度至AP′位置
①证明：BP=DP′；
②在线段AC上是否存在点P，使得BP+OP+AP的值最小？若不存在请说明理由；若存在，请简要说明理由并求出这个最小值（结果精确到0.1）

Answer 1

分析 （1）根据正方形和等边三角形的性质进行解答即可；
（2）①根据SAS证明△ABP与△ADP'全等，进而证明即可；
②当点P为对角线交点时BP+OP+AP的值最小，进而利用勾股定理解答即可．

解答 解：（1）∵正方形ABCO的边长为1，顶点A、C分别在x、y轴上，以AB为边向右作等边三角形ADB，
∴点B的坐标为（1，1），点D的坐标为（1+$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1}{2}$），
当点P为对角线交点时，即点P的坐标为（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$）时PO+PB的值最小；
故答案为：（1，1）；（1+$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1}{2}$）；（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$）；
（2）①∵正方形ABCO的边长为1，顶点A、C分别在x、y轴上，以AB为边向右作等边三角形ADB，
∴AB=AD，
∵将AP绕点A顺时针旋转60度至AP′位置，
∴∠PAB=∠P'AD，
∵在△ABP与△ADP'中，
$\left\{\begin{array}{l}{AP=AP'}\\{∠PAB=∠P'AD}\\{AB=AD}\end{array}\right.$，
∴△ABP≌△ADP'（SAS），
∴BP=DP′；
②当点P为对角线交点时BP+OP+AP的值最小，
∵BP+OP=OB=2PA=$\sqrt{2}$OA=$\sqrt{2}$，
∴BP+OP+AP=$\sqrt{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{3\sqrt{2}}{2}≈2$

点评 此题考查四边形综合题，关键是根据坐标与图形的特点进行分析，由正方形和等边三角形的性质解答．