Question

如图，在△ABC中，BC=3，AC=2，P为BC边上一个动点，过点P作PD∥AB，交AC于点D，连接BD．
（1）如图1，若∠C=45°，请直接写出：当

BP

PC

=

 

时，△BDP的面积最大；
（2）如图2，若∠C=α为任意锐角，则当点P在BC上何处时，△BDP的面积最大？

Answer 1

分析：（1）过点D作DE⊥BC于E，设PB=x，由PD∥AB，根据平行线分线段成比例定理，即可求得

PC

BC

=

DC

AC

，则可求得CD的长，P在BC中点时，△BDP的面积最大，故应为

BP

PC

=1；
（2）过点D作DE⊥BC于E，设PB=x，由PD∥AB，根据平行线分线段成比例定理，即可求得

PC

BC

=

DC

AC

，则可求得CD的长，由在Rt△DEC中，∠DEC=90°，设∠C=α，求得S_△BDP=

1

2

•BP•DE=-

x2•sinα

3

+x•sinα．则可求得答案．

解答：解：（1）1．（2分）

（2）如图2，过点D作DE⊥BC于E．（3分）
∴∠DEC=90°．
设PB=x．
∵BC=3，
∴PC=3-x．
∵PD∥AB，
∴

PC

BC

=

DC

AC

．
∴

DC

2

=

3-x

3

．
∴DC=

2(3-x)

3

．
在Rt△DEC中，∠DEC=90°，∠C=α，
∴DE=

2(3-x)•sinα

3

．（4分）
∴S_△BDP=

1

2

•BP•DE=-

x2•sinα

3

+x•sinα．（5分）
∵α为任意锐角，∴0＜sina＜1．
∴-

sinα

3

＜0．
∴当x=-

sinα

2•(- sinα 3 )

=

3

2

时，S_△BDP有最大值．
即P在BC中点时，△BDP的面积最大．（6分）

点评：此题考查了平行线分线段成比例定理，二次函数的最值问题，三角函数的应用等知识．此题综合性较强，难度较大，解题的关键是方程思想与数形结合思想的应用．