Question

如图，⊙O是△ABC的外接圆，点E在劣弧

BC

上，连接AE交BC于点D，经过B、C两点的圆弧交AE于点I．已知BE²=AE•DE，BI平分∠ABC．
（1）求证：BE=EI；
（2）若⊙O的半径为5，BC=8，∠BDE=45°．
①求

BC

的半径和AD的长；②求sin∠ABC和tan∠ABI的值．

Answer 1

考点：圆的综合题,三角形的外角性质,角平分线的性质,等腰三角形的判定与性质,勾股定理,圆心角、弧、弦的关系,圆周角定理,锐角三角函数的定义

专题：综合题

分析：（1）由BE²=AE•DE可证到△ABE∽△BDE，从而有∠BAE=∠EBC，根据三角形的外角性质可证到∠BIE=∠EBI，就可得到EB=EI．
（2）①连接EC、OB、OC、OE，设OE交BC于F，如图2，易证过点I的

BC

的半径为BE，根据勾股定理可以求出BE、DE的长，再根据BE²=AE•DE就可求出AD的长．②作AG⊥BC于G．如图3，先求出AG、AB，再运用三角函数的定义就可求出sin∠ABC的值；过点I作IK⊥AB于点K，过点I作IH⊥BC于点H，如图4，根据角平分线的性质可得IK=IH，然后运用面积法就可求出IH的长，从而可以求出BH的长，然后将tan∠ABI转化为tan∠CBI就可解决问题．

解答：（1）证明：如图1，
∵BE²=AE•DE，
∴

AE

BE

=

BE

DE

．
又∵∠E=∠E，
∴△ABE∽△BDE．
∴∠BAE=∠EBC．
∵BI平分∠ABC，
∴∠ABI=∠DBI．    
∵∠BIE=∠BAE+∠ABI，∠EBI=∠EBC+∠DBI，
∴∠BIE=∠EBI．
∴EB=EI．
    
（2）解：①连接EC、OB、OC、OE，设OE交BC于F，如图2，
∵∠BAE=∠EBC，∠EBC=∠EAC，
∴∠BAE=∠EAC，
∵∠BOE=2∠BAE，∠COE=2∠CAE，
∴∠BOE=∠COE．
∴

BE

=

CE

．
∴EB=EC．
∴EB=EC=EI．
∴点E是过点I的

BC

的圆心，EB是过点I的

BC

的半径．
∵OB=OC，∠BOE=∠COE，
∴BF=CF=

1

2

BC=4．
在Rt△OFC中，
∵OC=5，FC=4，
∴OF=3．
∴EF=OE-OF=5-3=2．
∴BE=

BF2+EF2

=2

5

．
∵∠BDE=45°，∠DFE=90°，
∴∠DEF=90°-45°=45°=∠FDE．
∴DF=EF=2．
∴BD=BF+DF=4+2=6，DE=2

2

．
∵AE•DE=BE²，
∴（AD+2

2

）×2

2

=（2

5

）²．
∴AD=3

2

．
∴过点I的

BC

的半径为2

5

，AD的长为3

2

．
②作AG⊥BC于G．如图3，
∵∠BDE=45°，
∴∠ADG=45°．
∴∠DAG=90°-45°=45°=∠ADG．
∴AG=DG=

2

2

AD=

2

2

×3

2

=3．
∵BD=6，
∴BG=BD+DG=9．
∴AB=

BG2+AG2

=3

10

．
∴sin∠ABC=

AG

AB

=

3

3 10

=

10

10

．
过点I作IK⊥AB于点K，过点I作IH⊥BC于点H，如图4，
∵BI平分∠ABC，IK⊥AB，IH⊥BC，
∴IK=IH．
∵S_△ABD=S_△ABI+S_△BDI，
∴

1

2

BD•AG=

1

2

AB•IK+

1

2

BD•IH．
∵BD=6，AG=3，AB=3

10

，IK=IH，
∴IH=

10

-2．
∵∠IDH=∠BDE=45°，∠IHD=90°，
∴∠DIH=90°-45°=45°=∠IDH．
∴DH=IH=

10

-2．
∴BH=BD+DH=6+

10

-2=

10

+4．
∴tan∠ABI=tan∠CBI=

IH

BH

=

10 -2

10 +4

=

10

-3．

点评：本题考查了弧与圆心角及弦的关系、圆周角定理、三角函数的定义、等腰三角形的判定与性质、三角形的外角性质、角平分线的性质、勾股定理等知识，有一定的综合性，而运用面积法求出IH的长及将tan∠ABI转化为tan∠CBI是求tan∠ABI值的关键．