Question

15．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（$\frac{8\sqrt{3}}{3}$，0），点B在第一象限，∠B=90°，∠OAB=30°，边AB的垂直平分线CD分别与AB，x轴，y轴交于点C，E，D．
（1）求点E的坐标；
（2）求直线CD的解析式．

Answer 1

分析 （1）根据DC是AB垂直平分线，得出E点为OA的中点，再根据OA的值，即可求出点E的坐标；
（2）先过点C作CH⊥x轴于点H，解Rt△ABO，求出AB的长，解Rt△CAH，求出CH、AH的值，得出点C点坐标，解Rt△ODE，求出OD，得到D点坐标，再利用待定系数法求出直线CD的解析式．

解答 解：（1））∵CD是边AB的垂直平分线，∠B=90°，
∴C点为AB的中点，∠DCA=90°，
∴OB∥CD，
∴E为OA的中点，
∵OA=$\frac{8\sqrt{3}}{3}$，
∴OE=$\frac{1}{2}$OA=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
∴E（$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，0）；

（2）过点C作CH⊥x轴于点H，
∵在Rt△ABO中，∠OAB=30°，OA=$\frac{8\sqrt{3}}{3}$，
∴cos30°=$\frac{AB}{OA}$，
即AB=$\frac{8\sqrt{3}}{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=4，
又∵CD垂直平分AB，
∴AC=2，
在Rt△CAH中，CH=$\frac{1}{2}$AC=1，AH=$\sqrt{3}$CH=$\sqrt{3}$，
∴OH=OA-AH=$\frac{8\sqrt{3}}{3}$-$\sqrt{3}$=$\frac{5\sqrt{3}}{3}$，
∴C（$\frac{5\sqrt{3}}{3}$，1），
∵∠DEO=60°，OE=$\frac{1}{2}$OA=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
∴OD=OE•tan60°=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$×$\sqrt{3}$=4，
∴D（0，-4），
设直线CD的解析式为：y=kx+b，
则$\left\{\begin{array}{l}{\frac{5\sqrt{3}}{3}k+b=1}\\{b=-4}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=\sqrt{3}}\\{b=-4}\end{array}\right.$．
∴直线CD的解析式为y=$\sqrt{3}$x-4．

点评 此题考查了待定系数法求一次函数解析式，线段垂直平分线的性质，解直角三角形，得出E点为OA的中点解决（1）的关键，求出C、D两点的坐标是解决（2）的关键．