Question

探索下列∠A与∠P之间的关系，并说明理由．
（1）如图①，BP、CP分别平分∠ABC、∠ACB；
（2）如图②，BP、CP分别平分∠ABC、∠ACB的补角：
（3）如图③，BP平分∠ABC的补角、CP平分∠ACB的补角．

Answer 1

分析：（1）根据BP、CP分别平分∠ABC和∠ACB，得到∠PBC=

1

2

∠ABC，∠PCB=

1

2

∠ACB，求出∠PBC+∠PCB，根据三角形的内角和定理求出∠P即可；
（2）根据∠ACE=∠A+∠ABC，和CP平分∠ACD，BP平分∠ABC，得到∠PBC=

1

2

∠ABC，∠PCA=

1

2

∠ACE=

1

2

∠A+

1

2

∠ABC，根据∠P=180°-（∠PBC+∠PCA+∠ACB），得到

1

2

∠A即可；
（3）根据∠DBC=∠A+∠ACB，∠ECB=∠A+∠ABC，求出∠DBC+∠ECB，根据BP、CP分别平分∠DBC和∠ECD，得到∠PBC=

1

2

∠DBC，∠PCB=

1

2

∠ECB，求出∠PBC+∠PCB，即可求出答案．

解答：解：（1）∵BP、CP分别平分∠ABC和∠ACB，
∴∠PBC=

1

2

∠ABC，∠PCB=

1

2

∠ACB，
∴∠PBC+∠PCB=

1

2

（∠ABC+∠ACB）=

1

2

×（180°-∠A），
∴∠P=180°-（∠PCB+∠PBC）=90°+

1

2

∠A．

（2）∠ACE=∠A+∠ABC，
∵CP平分∠ACE，BP平分∠ABC，
∴∠PBC=

1

2

∠ABC，∠PCA=

1

2

∠ACE=

1

2

∠A+

1

2

∠ABC，
∴∠P=180°-（∠PBC+∠PCA+∠ACB）=

1

2

∠A；

（3）∵∠DBC=∠A+∠ACB，∠ECB=∠A+∠ABC，
∴∠DBC+∠ECB=∠A+∠ACB+∠A+∠ABC，
∵BP、CP分别平分∠DBC和∠ECD，
∴∠PBC=

1

2

∠DBC，∠PCB=

1

2

∠ECB，
∴∠PBC+∠PCB=

1

2

（∠DBC+∠ECB），
∴∠P=180°-（∠PBC+∠PCB）=180°-

1

2

（∠DBC+∠ECB）=90°-

1

2

∠A．
故答案为：（1）∠P=90°+

1

2

∠A；（2）∠P=∠A；（3）∠P=90°-

1

2

∠A，

点评：本题主要考查对三角形的内角和定理，三角形的外角，角平分线的定义等知识点的理解和掌握，能熟练地运用这些性质进行计算是解此题的关键．