Question

如图，矩形ABCD顶点坐标分别是A（-1，2），B（1，2），C（1，-2），D（-1，-2），点P是边长CD上的动点，以P为顶点的抛物线y=a（x-h）²+k（a为大于0的常数）和边AD、BC分别交于点E、F，和y轴交于点H，连接EF和y轴交于点G．．
（1）直接写出k的值，并用a，h表示点E，F的坐标；
（2）当CF=4DE时，求点p的坐标；
（3）设DE+FC=t，当t的最小值为2时，求GH的长度．

Answer 1

解：（1）∵C（1，-2），D（-1，-2），
∴P点的纵坐标为-2，
∴k=-2，
将x=1和x=-1的值代入抛物线表达式得：
E（-1，a（h+1）²-2），F（1，a（h-1）²-2）；

（2）∵C（1，-2），D（-1，-2），
∴ED=a（h+1）²，FC=a（h-1）²，
当CF=4DE时，a（h-1）²=4a（h+1）²，
解方程得：h=，即P（-，-2）；

（3）∵t=DE+FC=2ah²+2a，
∵-1≤h≤1，
∴当h=0时，t的最小值是2a，
而已知t的最小值是2，
∴2a=2，a=1，
设直线EF的表达式是y=mx+n，
将点E，F的坐标代入得直线EF的表达式是：y=-2hx+h²-1，
∴点H（0，h²-2），G（0，h²-1），
∴GH=1．
分析：（1）根据CD两点的纵坐标可直接得出P点纵坐标，故可得出k的值；将x=1和x=-1的值代入抛物线表达式即可得出E、F两点的坐标；
（2）由（1）中E、F及已知中C、D两点的坐标可得出ED及FC的长，再由CF=4DE可得出关于h的方程，求出h的值，进而可得出P点坐标；
（3）由DE+FC=t，ED=a（h+1）²，FC=a（h-1）²可用a、h表示出t的值，再由h的取值范围当h=0时，t的最小值是2a，由的最小值是2可求出a的值，设直线EF的表达式是y=mx+n，将点E，F的坐标代入得直线EF的表达式即可求出直线EF的表达式，故可得出HG两点的坐标，故可得出GH的长．
点评：本题考查的是二次函数综合题，熟知矩形的性质、用待定系数法求一次函数的解析式、二次函数的性质等相关知识是解答此题的关键．