Question

如图，直线OC，BC的函数关系式分别y₁=x和y₂=-x+6，动点P（x，0）在OB上运动（0＜x＜6），过点P作直线m与x轴垂直．
（1）求点C的坐标，并回答当x取何值时y₁＞y₂？
（2）猜想△COB是什么三角形？并用所学的几何知识证明你的结论．
（3）设在△COB中位于直线m左侧部分的面积为S，求出S与x之间函数关系式？

Answer 1

解：（1）由题意得：
，
解得：，
∴点C的坐标为（3，3）；
当x＞3时y₁＞y₂；

（2）△COB是等腰直角三角形．
证明：∵直线BC的解析式为：y₂=-x+6，
∴B（0，6），
∵直线OC的解析式为：y₁=x，
∴∠COB=45°，
∴OC==3，BC==3，
∴OC=BC，
∴∠OBC=∠COB=45°，
∴∠OCB=90°，
∴△COB是等腰直角三角形；

（3）如图，过C作CD⊥x轴于点D，
则D（3，0），
①当0＜x≤3时，此时直线m左侧部分是△PQO，
∵P（x，0），
∴OP=x，
而Q在直线y₁=x上，
∴PQ=x，
∴s=x²（0＜x≤3）；
②当3＜x＜6时，此时直线m左侧部分是四边形OPQC，
∵P（x，0），
∴OP=x，
∴PB=OB-OP=6-x，
而Q在直线y₂=-x+6上，
∴PQ=-x+6，
∴S=S_△BOC-S_△PBQ=×CD×OB-×BP×PQ=×3×6-×（6-x）×（-x+6）=-x²+6x-9（3＜x＜6）．
分析：（1）由于C是直线OC、BC的交点，根据它们的解析式即可求出坐标，然后根据图象和交点坐标可以求出当x取何值时y₁＞y₂；
（2）由直线OC的解析式为：y₁=x，即可求得∠COB的度数，由BC的函数关系式为y₂=-x+6，即可求得点B的坐标，由两点式，可求得OC与BC的长，则可证得△COB的形状；
（3）此小题有两种情况：①当0＜x≤3，此时直线m左侧部分是△PQO，由于P（x，0）在OB上运动，所以PQ，OP都可以用x表示，所以s与x之间函数关系式即可求出；②当3＜x＜6，此时直线m左侧部分是四边形OPQC，可以先求出右边的△PQB的面积，然后即可求出左边的面积，而△PQO的面积可以和①一样的方法求出．
点评：此题考查了一次函数的交点问题、等腰直角三角形的判定以及面积问题．此题难度较大，注意掌握数形结合思想、分类讨论思想与方程思想的应用．