Question

14．已知反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象在第二、四象限，一次函数为y=kx+b（b＞0），直线x=1与x轴交于点B，与直线y=kx+b交于点A，直线x=3与x轴交于点C，与直线y=kx+b交于点D．点A，D都在第一象限，直线y=kx+b与x轴交于点E，与y轴交于点F
（1）当$\frac{ED}{EA}$=$\frac{3}{4}$且△OFE的面积等于$\frac{27}{2}$时，求这个一次函数的解析式；
（2）在（1）的条件下，根据函数图象，试求不等式$\frac{k}{x}$＞kx+b的解集．

Answer 1

分析 （1）先根据题意得到E（9，0），再根据△OFE的面积等于$\frac{27}{2}$，即可得到b的值，再根据一次函数y=kx+3经过点E（9，0），可得k的值；
（2）先求得两函数图象的交点坐标，再根据不等式$\frac{k}{x}$＞kx+b的几何意义，即可得到结论．

解答 解：（1）依题意得，$\frac{ED}{EA}=\frac{EC}{BE}=\frac{3}{4}$，
∵BC=2，BE=EC+BC，
∴$\frac{BE-2}{BE}=\frac{3}{4}$，
∴BE=8，
∴OE=9，即E（9，0），
∵点F的坐标为（0，b），
∴S_△OFE=$\frac{1}{2}$×9×b=$\frac{27}{2}$，
解得b=3，
由一次函数y=kx+3经过点E（9，0），可得
k=-$\frac{1}{3}$，
∴一次函数的解析式为y=-$\frac{1}{3}$x+3；

（2）令-$\frac{1}{3x}$=-$\frac{1}{3}$x+3，
解得x₁=$\frac{9-\sqrt{85}}{2}$，x₂=$\frac{9+\sqrt{85}}{2}$，
∴直线y=kx+b与反比例函数y=$\frac{k}{x}$的交点坐标的横坐标是$\frac{9-\sqrt{85}}{2}$或$\frac{9+\sqrt{85}}{2}$，
∴不等式$\frac{k}{x}$＞kx+b的解集为$\frac{9-\sqrt{85}}{2}$＜x＜0或x＞$\frac{9+\sqrt{85}}{2}$．

点评 本题考查了反比例函数和一次函数的交点问题，待定系数法求函数的解析式，三角形面积公式的应用，熟练掌握反比例函数和一次函数的性质是解题的关键．