Question

19．点P是正方形ABCD边AB上一点（不与A、B重合），连接PD并将线段PD绕点P顺时针旋转90°，得线段PE，连接BE，则∠CBE等于45度．

Answer 1

分析 在AD上取一点F，使DF=BP，连接PF，由正方形的性质就可以得出△DFP≌△PBE，就可以得出∠DFP=∠PBE，根据AP=AF就可以得出∠DFP的值，就可以求出∠CBE的值．

解答 解：在AD上取一点F，使DF=BP，连接PF，

∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB，∠A=∠ABC=90°．
∴AD-DF=AB-BP，∠ADP+∠APD=90°，
∴AF=AP．
∴∠AFP=∠APF=45°，
∴∠DFP=135°．
∵∠DPE=90°
∴∠APD+∠BPE=90°．
∴∠ADP=∠BPE．
在△DFP和△PBE中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{DF=BP}\\{∠ADP=∠BPE}\\{DP=PE}\end{array}\right.$，
∴△DFP≌△PBE（SAS），
∴∠DFP=∠PBE，
∴∠PBE=135°，
∴∠EBC=135°-90°=45°．
故答案为：45．

点评 本题考查了正方形的性质的运用，直角三角形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．