【题目】如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,∠C=30°,以边上AC上一点O为圆心,OA为半径作⊙O,⊙O恰好经过边BC的中点D,并与边AC相交于另一点F.
(1)求证:BD是⊙O的切线.
(2)若AB=,E是半圆上一动点,连接AE,AD,DE.
填空:
①当的长度是____________时,四边形ABDE是菱形;
②当的长度是____________时,△ADE是直角三角形.
【答案】(1)见解析;(2)①;②π或π.
【解析】
试题分析:(1)证明:如图1,连接OD,∵在Rt△ABC中,∠BAC=90°,∠C=30°,∴AB=BC,∵D是BC的中点,∴BD=BC,∴AB=BD,∴∠BAD=∠BDA,∵OA=OD,∴∠OAD=∠ODA,∴∠ODB=∠BAO=90°,即OD⊥BC,∴BD是⊙O的切线.
(2)①当DE⊥AC时,四边形ABDE是菱形;如图2,设DE交AC于点M,连接OE,则DE=2DM,∵∠C=30°,∴CD=2DM,∴DE=CD=AB=BC,∵∠BAC=90°,∴DE∥AB,∴四边形ABDE是平行四边形,∵AB=BD,∴四边形ABDE是菱形;∵AD=BD=AB=CD=BC=,∴△ABD是等边三角形,OD=CDtan30°=1,∴∠ADB=60°,∵∠CDE=90°﹣∠C=60°,∴∠ADE=180°﹣∠ADB﹣∠CDE=60°,∴∠AOE=2∠ADE=120°,∴的长度为: =π;故答案为:;
②若∠ADE=90°,则点E与点F重合,此时的长度为: =π;若∠DAE=90°,则DE是直径,则∠AOE=2∠ADO=60°,此时的长度为: =π;∵AD不是直径,∴∠AED≠90°;综上可得:当的长度是π或π时,△ADE是直角三角形.故答案为:π或π.
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【题目】(1)如图(1),已知:在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,直线m经过点A,BD⊥直线m, CE⊥直线m,垂足分别为点D、E.证明:DE=BD+CE.
(2) 如图(2),将(1)中的条件改为:在△ABC中,AB=AC,D、A、E三点都在直线m上,并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=,其中为任意锐角或钝角.请问结论DE=BD+CE是否成立?如成立,请你给出证明;若不成立,请说明理由.
(3)拓展与应用:如图(3),D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点(D、A、E三点互不重合),点F为∠BAC平分线上的一点,且△ABF和△ACF均为等边三角形,连接BD、CE,若∠BDA=∠AEC=∠BAC,试判断△DEF的形状.
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【题目】如图,△ABC内接于⊙O,CA=CB,CD∥AB且与OA的延长线交与点D.
(1)判断CD与⊙O的位置关系并说明理由;
(2)若∠ACB=120°,OA=2,求CD的长.
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【题目】在“双十二”期间,A,B两个超市开展促销活动,活动方式如下:
A超市:购物金额打9折后,若超过2000元再优惠300元;
B超市:购物金额打8折.
某学校计划购买某品牌的篮球做奖品,该品牌的篮球在A,B两个超市的标价相同.根据商场的活动方式:
(1)若一次性付款4200元购买这种篮球,则在B商场购买的数量比在A商场购买的数量多5个.请求出这种篮球的标价;
(2)学校计划购买100个篮球,请你设计一个购买方案,使所需的费用最少.(直接写出方案)
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【题目】观察下列两位数(十位数字相同,个位数字的和是10)相乘的等式.
;;;;;…
我们发现了一个速算法则:两个两位数相乘,如果这两个乘数的十位数字相同,个位数字的和是10,该类乘法的速算方法是:将其中一个乘数的十位数字与另一个乘数的十位数字加1的和相乘,所得的积作为计算结果的前两位(即千位和百位,数位不足两位的,千位看作0);再将两个乘数的个位数字相乘,所得的积作为计算结果的后两位是,它们乘积的后两位是,所以.请解答下列问题:
(1)计算: ;
(2)若设其中一个乘数的十位数字为,个位数字是(表示1到9的整数).请通过计算解释速算法则.
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【题目】大双,小双的妈妈申购到一张北京奥运会的门票,兄弟俩决定分别用标有数字且除数字以外没有其它任何区别的小球,各自设计一种游戏确定谁去.
大双:A袋中放着分别标有数字1,2,3的三个小球,B袋中放着分别标有数字4,5的两个小球,且都已各自搅匀,小双蒙上眼睛从两个口袋中各取出1个小球,若两个小球上的数字之积为偶数,则大双得到门票;若积为奇数,则小双得到门票.
小双:口袋中放着分别标有数字1,2,3的三个小球,且已搅匀,大双,小双各蒙上眼睛有放回地摸1次,大双摸到偶数就记2分,摸到奇数记0分;小双摸到奇数就记1分,摸到偶数记0分,积分多的就得到门票.(若积分相同,则重复第二次.)
(1)大双设计的游戏方案对双方是否公平?请你运用列表或树状图说明理由;
(2)小双设计的游戏方案对双方是否公平?不必说理.
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【题目】为了减少二氧化碳的排放量,提倡绿色出行,越来越多市民选择租用共享单车出行,已知某共享单车公司为市民提供了手机支付(使用的前1小时免费)和会员卡支付两种支付方式,如图描述了两种方式应支付金额y(元)与骑行时间x(时)之间的函数关系,根据图象回答下列问题:
(1)图中表示会员卡支付的收费方式是 (填①或②).
(2)在图①中当x≥1时,求y与x的函数关系式.
(3)陈老师经常骑行该公司的共享单车,请根据不同的骑行时间帮他确定选择哪种支付方式比较合算.
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【题目】某中学举行“庆祝中华人民共和国成立70周年”知识预赛,学生会把成绩(分)分成五组:A组:;B组:;C组:;D组:;E组:.
统计后绘制成如下两个统计图(不完整).
(1)直接填空:
①的值为_________;
②在图2中,组的扇形圆心角的度数为_________.
(2)在图1中,画出所对应的条形图;
(3)若学生会计划从预赛中选拔前30名进入复赛,则进入复赛的成绩应不低于多少分?
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