Question

如图，直线MN与x轴，y轴分别相交于A、C两点，分别过A、C两点作x轴，y轴的乘线相交于B点，且OA，OC（OA＞OC）的长分别是OC=6，OA=8
 （1）求直线MN的解析式；
（2）在直线MN上存在点P，使以点P、B、C三点为原点的三角形是等腰三角形，写出P点的坐标．

Answer 1

考点：一次函数综合题,解一元二次方程-因式分解法,勾股定理

专题：分类讨论

分析：（1）由题意可得点A、C的坐标，然后运用待定系数法就可求出直线MN的解析式；
（2）过点P作直线BC的垂线，垂足为H，如图，设点P的坐标为（m，n），由“点P在直线MN上”可将n用m的代数式表示，就可用m的代数式表示出PH、CH、BH、然后根据勾股定理可用m的代数式表示出PC²、PB²，然后分三种情况（①PC=PB，②CP=CB，③BP=BC）讨论，建立关于m的方程，求出m的值，就可得到点P的坐标．

解答：解：（1）设直线MN的解析式为y=kx+b．
∵OC=6，OA=8，
∴点C（0，6），点A（8，0），
∴

b=6 8k+b=0

，
解得：

k=- 3 4 b=6

，
∴直线MN的解析式为y=-

3

4

x+6．

（2）过点P作直线BC的垂线，垂足为H，如图，
由题可得C（0，6），B（8，6）．
设点P的坐标为（m，n），
则PH=|n-6|，CH=|m|，BH=|m-8|，
∵点P在直线y=-

3

4

x+6上，
∴n=-

3

4

m+6，
∴点P的坐标为（m，-

3

4

m+6），PH=|-

3

4

m+6-6|=|

3

4

m|．
根据勾股定理可得：
PC²=PH²+CH²=（

3

4

m）²+m²，
PB²=PH²+BH²=（

3

4

m）²+（m-8）²．
①若PC=PB，
则（

3

4

m）²+m²=（

3

4

m）²+（m-8）²，
解得：m=4，
∴点P的坐标为（4，3）．
②若CP=CB，
则（

3

4

m）²+m²=64，
解得：m₁=

32

5

，m₂=-

32

5

，
∴点P的坐标为（

32

5

，

6

5

）或（-

32

5

，

54

5

）．
③若BP=BC，
则（

3

4

m）²+（m-8）²=64，
整理得：25m²-256m=0，
解得：m₃=0（舍），m₄=

256

25

，
∴点P的坐标为（

256

25

，-

42

25

）．
综上所述：当点P、B、C三点为顶点的三角形是等腰三角形时，点P的坐标为（4，3），（

32

5

，

6

5

）、（-

32

5

，

54

5

）、（

256

25

，-

42

25

）．

点评：本题主要考查了运用待定系数法求一次函数的解析式、勾股定理、解一元二次方程等知识，还考查了分类讨论的数学思想，运用勾股定理及分类讨论的思想是解决第（2）小题的关键．