Question

20．如图，以线段AB为直径作⊙O，CD与⊙O相切于点E，交AB的延长线于点C，连结BE，过点O作OD∥BE交切线CE于点D，连结AD．
（1）求证：AD是⊙O的切线；
（2）若AD=6，AC=8，求BC的长．

Answer 1

分析 （1）连接OE，根据CD与圆O相切，利用切线的性质得到OE垂直于CD，再由OC与BE平行，得到同位角相等与内错角相等，根据OB=OE，利用等边对等角得到一对角相等，等量代换得到夹角相等，再由OA=OE，OC=OC，利用SAS得到三角形AOC与三角形EOC全等，利用全等三角形对应角相等得到∠OAC=∠OEC=90°，即可得证；
（2）利用勾股定里计算出DC长，进而可得EC长，设BC=x，然后再直角三角形EOC中，利用勾股定理计算出x的值．

解答 （1）证明：连接EO，
∵OD∥BE，
∴∠3=∠2，∠1=∠4，
∵EO=BO，
∴∠1=∠2，
∴∠3=∠4，
在△ADO和△EDO中$\left\{\begin{array}{l}{AO=EO}\\{∠3=∠4}\\{DO=DO}\end{array}\right.$，
∴△ADO≌△EDO（SAS），
∴∠DEO=∠DAO=90°，
∴AD是⊙O的切线；

（2）∵AD=6，AC=8，
∴DC=10，
∴EC=4，
设BC=x，
∴（x+$\frac{8-x}{2}$）²=16+（$\frac{8-x}{2}$）²，
解得：x=2，
∴BC=2．

点评 此题考查了切线的判定与性质，平行线的性质和勾股定理的应用，熟练掌握切线的判定与性质是解本题的关键．