Question

如图，△ABC是等腰直角三角形，△DEF是一个含30°角的直角三角形，将D放在BC的中点上，转动△DEF，设DE，DF分别交AC，BA的延长线于E，G，则下列结论：
①AG=CE         
②DG=DE
③BG-AC=CE      
④S_△BDG-S_△CDE=

1

2

S_△ABC
其中总是成立的是

①②③④

 （填序号）

Answer 1

分析：连接AD，即可推出AD垂直且平分BC，根据等腰直角三角形的相关性质即可推出△ECD≌△GAD，再根据全等三角形的性质，即可推出AG=CE，DG=DE，再由AB=AC，AG=CE，可得BG-AC=BG-AB=AG，即BG-AC=CE，然后，根据所推出的结论可得S_△ECD=S_△GAD，S_△ABC=2S_ADB，通过等量代换，结合图形即可推出S_△BDG-S_△CDE=S_△BDG-S_△ADG=S_△ADB，即S_△BDG-S_△CDE=

1

2

S_△ABC．

解答：解：连接AD．
∵△ABC是等腰直角三角形，D为BC的中点，
∴AD⊥BC，AD平分∠BAC，
∴∠ADB=∠ADC=90°，∠ACD=∠B=∠CAD=∠BAD=45°，CD=BD=AD，
∵∠EDF=90°，
∴∠ADG=∠EDC，∠ECD=∠GAD=135°，
∴在△ECD和△GAD中，

∠ADG=∠EDC ∠ECD=∠GAD CD=AD

∴△ECD≌△GAD（AAS），
∴AG=CE，DG=DE，
∵AB=AC，
∴BG-AC=BG-AB=AG，
∵AG=CE，
∴BG-AC=CE，
∵△ECD≌△GAD，
∴S_△ECD=S_△GAD，
∵△ABC为等腰直角三角形，AD为斜边上的高，
∴S_△ABC=2S_ADB，
∴S_△BDG-S_△CDE=S_△BDG-S_△ADG=S_△ADB，
∴S_△BDG-S_△CDE=

1

2

S_△ABC，
∴总上结论①②③④项均成立．
故答案为①②③④．

点评：本题主要考查等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定及性质定理，三角形的面积公式，关键在于正确地作出辅助线，推出相关的三角形全等，认真的结合图形推出S_△BDG-S_△CDE=S_△BDG-S_△ADG=S_△ADB．