Question

如图，在边长为3的正方形ABCD中，E，F，O分别是AB，CD，AD的中点，以O为圆心，以OE为半径画弧EF．P是

EF

上的一个动点，连接OP，并延长OP交线段BC于点K，过点P作⊙O的切线，分别交射线AB于点M，交直线BC于点G．若

BG

BM

=4，则BK﹦

3

4

或

9

4

．

Answer 1

分析：此题可以分别从若OP的延长线与射线AB的延长线相交于H与若OP的延长线与射线DC的延长线相交于H去分析，利用切线与正方形的性质，可求得∠H-∠BGM，然后根据三角函数的知识，求得AH的长，继而可得BK的长．注意不要漏解．

解答：解：（1）若OP的延长线与射线AB的延长线相交，设交点为H．如图1，
∵MG与⊙O相切，
∴OK⊥MG．
∴KPG=90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠HBK=90°，
∵∠BKH=∠PKG，
∴∠MGB=∠BHK．
∵

BG

BM

=4，
∴tan∠BHK=tan∠BGM=

BM

BG

=

1

4

．
∵tan∠BHK=

AO

AH

，
∵O是AD的中点，
∴AO=

3

2

，
∴AH=4AO=4×

3

2

=6，
∴BH=4BK．
∵AB=3，
∴BH=AH-AB=6-3=3，
∴BK=

1

4

×3=

3

4

．

（2）若OP的延长线与射线DC的延长线相交，设交点为H．如图2，
同理可求得BK=

9

4

．
综上可得：BK=

3

4

或

9

4

．
故答案为：

3

4

或

9

4

．

点评：此题考查了正方形的性质、切线的性质以及三角函数的知识．此题综合性较强，难度较大，解题的关键是根据题意，利用分类讨论思想求解，注意数形结合思想的应用．