Question

如图，AB是⊙O的直径，AC、AD分别是⊙O的弦，且AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AD交AD延长线于点E．
（1）求证：CE是⊙O的切线；
（2）若DE=1，AD=2，试解答下列问题：
①求AC的长；
②求弦AC、AD与劣弧CD所围成图形的面积．

Answer 1

分析：（1）连接OC，则可得OC=OA，∠OAC=∠OCA，再结合AC平分∠BAD，可判断OC∥AE，继而可判断出结论．
（2）①根据切线的性质得出∠ECD=∠EAC，从而可判断出△CED∽△AEC，利用相似三角形的性质求出CE的长度，在RT△ACE中，利用勾股定理可求出AC的长度．
②在RT△ACE中，利用三角函数的知识，可求出∠CAE的度数，继而可判断出DC∥AB，△OAD、△OCD是等边三角形，可将弦AC、AD与劣弧CD所围成图形的面积，转化为扇形OCD的面积，代入扇形面积公式进行计算即可．

解答：解：（1）连接OC，OD，
∵OC=OA，
∴∠OAC=∠OCA，
又∵AC平分∠BAD，
∴∠CAD=∠CAO=∠OCA，
∴OC∥AE，即可得OC⊥CE，
故可得CE是⊙O的切线；

（2）①∵CE是⊙O的切线，
∴∠ECD=∠EAC，
∴△CED∽△AEC，
则

CE

AE

=

DE

CE

，即CE²=AE•DE=3，
解得：CE=

3

，
在RT△AEC中，AC=

EC2+AE2

=

3+9

=2

3

．
②由①的结论，可得tan∠CAE=

CE

AE

=

3

3

，
故∠CAE=30°，
∵∠OCA=∠OAC=∠CAE，
∴∠ACD=90°-∠ACE-∠ACO=30°，
故可得∠ACD=∠CAO，△AOD、△COD均是等边三角形，
则⊙O的半径R=AD=2，
故DC∥AB，则△ADC的面积与△COD的面积相等，
从而可得弦AC、AD与劣弧CD所围成图形的面积与扇形OCD的面积相等，
则S_扇形OCD=

60πR2

360

=

2π

3

．
即弦AC、AD与劣弧CD所围成图形的面积为

2π

3

．

点评：此题属于圆的综合性题目，涉及了切线的判定与性质、勾股定理，三角函数值及相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是利用相似三角形的性质求出AC的长度，然后判断出DC∥AB，将所求不规则面积转化为扇形的面积，难度较大．