Question

阅读理解：
两个三角形中有一个角相等或互补，我们称这两个三角形是共角三角形，这个角称为对应角．
（1）根据上述定义，判断下列结论，正确的打“√”，错误的打“×”．
①三角形一条中线分成的两个三角形是共角三角形

 

②两个等腰三角形是共角三角形

 

【探究】
（2）如图1，在△ABC与△DEF中，设∠ABC=α，∠DEF=β
①当α=β=90°  时，显然可知：

S△ABC

S△DEF

=

AB•BC

DE•EF

②当α=β≠90° 时，亦可容易证明：

S△ABC

S△DEF

=

AB•BC

DE•EF

③如图2，当α+β=180°（α≠β）时，上述的结论是否还能成立？若成立，请证明；若不成立，请举反例说明．
【归纳】
（3）针对上述探究，请你写出一个关于共角三角形的结论：

 

．
【应用】
（4）如图3，⊙O中的弦AB、CD所对的圆心角分别是72°、108°，记△OAB与△OCD的面积分别为S₁，S₂，请写出S₁与S₂满足的数量关系

 

．
（5）如图4，?ABCD的面积为2，延长?ABCD的各边，使BE=AB，CF=2BC，DG=2CD，AH=3AD，则四边形EFGH的面积为

 

．

Answer 1

考点：圆的综合题

专题：

分析：（1）根据共角三角形的定义，可得答案；
（2）根据同角的补角相等，可得：∠ABM=∠E，根据相似三角形的判定，可得△ABM∽△DEN，根据相似三角形的性质，可得对应边的比相等，可得证明的结论；
（3）根据（2）证明的结论，可得答案；
（4）根据共角三角形面积的关系，可得答案；
（5）根据共角三角形面积的关系，可得共角三角形的面积，根据面积的和差，可得答案．．

解答：解：（1）①对  ②错；
（2）③证明：方法一：
过A作AM⊥BC交BC的延长线于点M、过D作DN⊥EF于点N，
∴∠AMB=∠DNE=90°
又∵∠ABM+α=β+α=180°
∴∠ABM=β
即：∠ABM=∠E
∴△ABM∽△DEN
∴

AM

DN

=

AB

DE

，
∴

S△ABC

S△DEF

=

1 2 AM•BC

1 2 DN•EF

=

AM

DN

•

BC

EF

=

AB

DE

•

BC

EF

=

AB•BC

DE•EF

；
（3）共角三角形的面积比等于对应角两边的乘积之比；   
（4）∵△OAB与△OCD是共角三角形，
∴

S△OAB

S△OCD

=

S1

S2

=

OA•OB

OC•OD

=1，
S₁=S₂；
（5）如图：

四边形ABCD的面积为2，
SABC=SADC=SBAD=SBCD=1，
使BE=AB，CF=2BC，DG=2CD，AH=3AD，
由共角三角形的面积比等于对应角两边的乘积之比得

S△BEF

S△ABC

=

BE•BF

AB•BC

=

AB•3BC

AB•BC

=3，S_△BEF=3，

S△GCF

S△BCD

=

CG•CF

CB•CD

=

3CD•2BC

CD•BC

=6，S_△GCF=6，

S△HDG

S△ADC

=

DG•DH

DA•DC

=

2CD•4AD

DC•DA

=8，S_△DGH=8，

S△AHE

S△ADB

=

AH•AE

AD•AB

=

3AD•2AB

AD•AB

=6，S_△AHE=6，
S_EFGH=S_△BEF+S_△GCF+S_△DGH+S_△AHE+S_ABCD
=3+6+8+6+2=25，
 故答案为：对，错，共角三角形的面积比等于对应角两边的乘积之比，S₁=S₂，25．

点评：本题考查了圆的综合题，共角三角形的面积之间的关系是解题关键．