Question

如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=6，AC=8，点M、N分别为AB，AC边的中点，点D为BC边的中点，动点P从点A出发，沿射线AB方向移动，作∠PDQ=90°，点Q在AC上，设AP=x，CQ=y．
（1）证明：△PDM∽△QDN；
（2）求y与x的函数关系式，并求x的取值范围；
（3）问x为何值时，△CDQ是等腰三角形？

Answer 1

考点：相似形综合题

专题：

分析：（1）根据已知和中位线的性质得出∠DMP=∠DNQ=∠MDN=90°，再根据∠PDQ=90°，得出∠PDM=∠QDN，最后根据AA得出△PDM∽△QDN；
（2）根据（1）得出

PM

QN

=

DM

DN

=

4

3

，求出QN=

3

4

PM，分别进行讨论若点P在AM上，则点Q在CN上和若点P在MB上，则点Q在NA上，用x表示出PM和QN，求出y与x的函数关系式，当点Q与点A重合时，求出CQ=8，从而得出x的取值范围；      
（3）根据点D为Rt△ABC斜边BC的中点，得出DA=DC=5，由（2）知，点Q与点A重合，△CDQ是等腰三角形，求出x的值；当CQ=CD=5，QN=CQ-CN=1，求出x的值；若CQ=DQ，过点Q作QE⊥DC，得出CH=

5

2

，cos∠C=

CH

CQ

，在Rt△ABC中，求出cos=∠C的值，从而求出x的值即可．

解答：解：（1）∵点M、N分别为AB，AC边的中点，点D为BC边的中点，
∴DM，DN是中位线，
∵∠A=90°，
∴∠DMP=∠DNQ=∠MDN=90°，
∵∠PDQ=90°，
∴∠PDM=90°-∠PDN，∠QDN=90-∠PDN，
∴∠PDM=∠QDN，
∴△PDM∽△QDN；              

（2）∵AB=6，AC=8，
∴DM=4，DN=3，
∵△PDM∽△QDN，
∴

PM

QN

=

DM

DN

=

4

3

，
∴QN=

3

4

PM，
若点P在AM上，则点Q在CN上，PM=3-x，QN=

3

4

（3-x），y=CQ=CN-QN=4-

3

4

（3-x）=

7

4

+

3

4

x，
若点P在MB上，则点Q在NA上，PM=x-3，QN=

3

4

（x-3），y=CQ=CN+QN=4+

3

4

（x-3）=

7

4

+

3

4

x，
∴所求的函数关系式是y=

3

4

x+

7

4

，
当点Q与点A重合时，即CQ=8，此时，

3

4

x+

7

4

=8，
解得：x=

25

3

，
∴x的取值范围是0≤x≤

25

3

；      

（3）∵点D为Rt△ABC斜边BC的中点，
∴DA=DC=5，
由（2）可知，点Q与点A重合，△CDQ是等腰三角形，此时，x=

25

3

，
若CQ=CD=5，QN=CQ-CN=1，此时PM=

4

3

QN=

4

3

，
x=AP=3+

4

3

=

13

3

，
若CQ=DQ，过点Q作QE⊥DC，则CE=

5

2

，cos∠C=

CE

CQ

，
在Rt△ABC中，cos∠C=

AC

BC

=

4

5

，
∴

CE

CQ

=

4

5

，CQ=

5

4

CE=

25

8

，
∴

3

4

x+

7

4

=

25

8

，
解得：x=

11

6

．
综上所述：当x=

25

3

或

13

3

或

11

6

时，△CDQ是等腰三角形．

点评：此题考查了相似形综合，用到的知识点是相似三角形的判定与性质、中位线的性质、等腰三角形的性质以及特殊角的三角函数值，关键是利用数形结合思想进行解答．