Question

如图，抛物线：y=

1

2

x2+bx+c与x轴交于A、B（A在B左侧），顶点为C（1，-2），
（1）求此抛物线的关系式；并直接写出点A、B的坐标．
（2）求过A、B、C三点的圆的半径．
（3）在抛物线上找点P，在y轴上找点E，使以A、B、P、E为顶点的四边形是平行四边形，求点P、E的坐标．

Answer 1

分析：（1）根据顶点坐标，利用顶点公式列式进行计算求出b、c的值，从而得解；然后令y=0，解关于x的一元二次方程即可得到A、B的坐标；
（2）根据点A、B、C的坐标，求出AB、AC、BC的长度，然后判定出△ABC是直角三角形，再根据AB是直径即可求解；
（3）分①AB是平行四边形的边，根据平行四边形对边平行且相等可得PE∥AB且PE=AB，然后利用抛物线解析式求解即可；
②AB是平行四边形的对角线，根据平行四边形的对角线互相平分可得PE与x轴的交点坐标为（1，0），从而得到点E的横坐标为2，然后代入抛物线求出点E的纵坐标，并得到点P的坐标．

解答：解：（1）∵抛物线y=

1

2

x²+bx+c的顶点为C（1，-2），
∴-

b

2a

=-

b

2× 1 2

=1，
解得b=-1，

4ac-b2

4a

=

4× 1 2 c-(-1)2

4× 1 2

=-2，
解得c=-

3

2

，
∴抛物线解析式为y=

1

2

x²-x-

3

2

，
令y=0，则

1

2

x²-x-

3

2

=0，
解得x₁=-1，x₂=3，
∴点A、B的坐标为：A（-1，0）、B（3，0）；

（2）∵A（-1，0）、B（3，0）、C（1，-2），
∴AB=3-（-1）=4，
AC=

(-1-1)2+[0-(-2)]2

=2

2

，
BC=

(3-1)2+[0-(-2)]2

=2

2

，
∴AB²=16，AC²+BC²=8+8=16，
∴AB²=AC²+BC²，
∴△ABC是直角三角形，AB是直径，
故半径为2；

（3）①当AB是平行四边形的边时，PE=AB=4，且点P、E的纵坐标相等，
∴点P的横坐标为4或-4，
∴y=

1

2

×4²-4-

3

2

=

5

2

，
或y=

1

2

×4²+4-

3

2

=

21

2

，
∴点P、E的坐标为P₁（4，

5

2

）、E₁（0，

5

2

）或P₂（-4，

21

2

）、E₂（0，

21

2

），
②如图，当AB是平行四边形的对角线时，PE平分AB，
∴PE与x轴的交点坐标D（1，0），
过点P作PF⊥AB，则OD=FD，
∴点F的坐标为（2，0），
∴点P的横坐标为2，
y=

1

2

×2²-2-

3

2

=-

3

2

，
∴点P的纵坐标为

3

2

，
∴点P、E的坐标为P₃（2，-

3

2

）、E₃（0，

3

2

），
综上所述，点P、E的坐标为：P₁（4，

5

2

）、E₁（0，

5

2

）或P₂（-4，

21

2

）、E₂（0，

21

2

）或P₃（2，-

3

2

）、E₃（0，

3

2

）．

点评：本题综合考查了二次函数待定系数法求函数解析式，勾股定理逆定理的应用，抛物线顶点坐标，抛物线与x轴的坐标的求解，三角形的外接圆的半径，平行四边形的性质，根据顶点坐标求出函数解析式是解题的关键，（3）注意要分AB是平行四边形的边与对角线两种情况讨论求解．