如图,等边△ABC的边长为4,E是边BC上的动点,EH⊥AC于H,过E作EF∥AC,交线段AB于点F,在线段AC上取点P,使PE=EB.设EC=x(0<x≤2).
(1)请直接写出图中与线段EF相等的两条线段(不再另外添加辅助线);
(2)Q是线段AC上的动点,当四边形EFPQ是平行四边形时,求平行四边形EFPQ的面积(用含的代数式表示);
(3)当(2)中 的平行四边形EFPQ面积最大值时,以E为圆心,r为半径作圆,根据⊙E与此时平行四边形EFPQ四条边交点的总个数,求相应的r的取值范围.
(1)BE、PE;
(2);
(3)当⊙E与平行四边形EFPQ的四条边交点的总个数是2个时,0<r<;
当⊙E与平行四边形EFPQ的四条边交点的总个数是4个时,r=;
当⊙E与平行四边形EFPQ的四条边交点的总个数是6个时,<r<2;
当⊙E与平行四边形EFPQ的四条边交点的总个数是3个时,r=2;
当⊙E与平行四边形EFPQ的四条边交点的总个数是0个时,r>2.
解析试题分析:(1)根据三角形ABC是等边三角形和EF∥AC,可得等边三角形BEF,则可写出与EF相等的线段;
(2)根据(1)可知EF=BE=4﹣x,要求平行四边形的面积,只需求得EF边上的高.作EH⊥AC于H,根据30度的直角三角形EHC进行表示EH的长,进一步求得平行四边形的面积;
(3)根据二次函数的顶点式或顶点的公式法求得平行四边形的面积的最大值时x的值,分析平行四边形的位置和形状.然后根据公共点的个数分析圆和平行四边形的各边的位置关系,进一步根据圆和直线的位置关系求得r的取值范围.
试题解析:(1)BE、PE、BF三条线段中任选两条;
(2)作EQ∥FP交FE于E,
设EC为x
∵EH⊥AC,
∴∠EHC=90°
∴△CHE为直角三角形
∵△ABC为等边三角形,
∴∠C=60°
在Rt△CHE中,∠CHE=90°,∠C=60°,
∠HEC=180°﹣∠C﹣∠EHC=30°
∴2HC=EC
∵HE2=EC2﹣HC2
∴,
∵EF∥AC,FP∥EQ
∴四边形EFPQ为平行四边形
∴PQ=FE
又∵PE=BE
∴PQ=EF=BE=4﹣x
∴;
(3)因为,所以当x=2时,平行四边形EFPQ的面积最大.此时E、F、P分别为△ABC的三边BC、AB、AC的中点,且C、Q重合,四边形EFPQ是边长为2的菱形(如图).
过点E点作ED⊥FP于D,则ED=EH=.
当⊙E与平行四边形EFPQ的四条边交点的总个数是2个时,0<r<;
当⊙E与平行四边形EFPQ的四条边交点的总个数是4个时,r=;
当⊙E与平行四边形EFPQ的四条边交点的总个数是6个时,<r<2;
当⊙E与平行四边形EFPQ的四条边交点的总个数是3个时,r=2;
当⊙E与平行四边形EFPQ的四条边交点的总个数是0个时,r>2.
考点:二次函数综合题.
科目:初中数学 来源: 题型:解答题
某市政府大力扶持大学生创业.李明在政府的扶持下投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯.销售过程中发现,每月销售量y(件)与销售单价x(元)之间的关系可近似的看作一次函数:.
(1)设李明每月获得利润为w(元),当销售单价定为多少元时,每月可获得最大利润?
(2)如果李明想要每月获得2000元的利润,那么销售单价应定为多少元?
(3)根据物价部门规定,这种护眼台灯的销售单价不得高于32元,如果李明想要每月获得的利润不低于2000元,那么他每月的成本最少需要多少元?(成本=进价×销售量)
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在平面直角坐标系中,现将一块等腰直角三角板ABC放在第二象限,斜靠在两坐上,且点A(0,2),点C(,0),如图所示:抛物线经过点B。
(1)求点B的坐标;
(2)求抛物线的解析式;
(3)在抛物线上是否还存在点P(点B除外),使△ACP仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形?若存在,求所有点P的坐标;若不存在,请说明理由。
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某服装经营部每天的固定费用为300元,现试销一种成本为每件80元的服装.规定试销期间销售单价不低于成本单价,且获利不得高于35%.经试销发现,每件销售单价相对成本提高x(元)(x为整数)与日均销售量y(件)之间的关系符合一次函数y=kx+b,且当x=10时,y=100;x=20时,y=80.
(1)求一次函数y=kx+b的关系式;
(2)设该服装经营部日均获得毛利润为W元(毛利润=销售收入-成本-固定费用),求W关于x的函数关系式;并求当销售单价定为多少元时,日均毛利润最大,最大日均毛利润是多少元?
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某商场经营某种品牌的玩具,购进时的单价是30元,根据市场调查:在一段时间内,销售单价是40元时,销售量是600件,而销售单价每涨1元,就会少售出10件玩具.
(1)不妨设该种品牌玩具的销售单价为x元(x > 40),请你分别用x的代数式来表示销售量y件和销售该品牌玩具获得利润w元,并把结果填写在表格中:
销售单价(元) | x |
销售量y(件) | |
销售玩具获得利润w(元) | |
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已知抛物线的解析式为
(1)求证:不论m为何值,此抛物线与x轴必有两个交点,且两交点A、B之间的距离为定值;
(2)设点P为此抛物线上一点,若△PAB的面积为8,求符合条件的点P的坐标;
(3)若(2)中△PAB的面积为S(S>0),试根据面积S值的变化情况,确定符合条件的点P的个数(本小题直接写出结论,不要求写出计算、证明过程).
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如图,二次函数的顶点坐标为(0,2),矩形ABCD的顶点B.C在x轴上,A.D在抛物线上,矩形ABCD在抛物线与x轴所围成的图形内。
(1)求二次函数的解析式;
(2)设点D的坐标为(x,y),试求矩形ABCD的周长P关于自变量x的函数解析式,并求出自变量x的取值范围;
(3)是否存在这样的矩形ABCD,使它的周长为9?试证明你的结论。
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