Question

（2013•闵行区三模）已知：如图1，A、B是⊙O上两点，OA=5，AB=8，C是

AB

上任意一点，OC与弦AB相交于点D，过点C作CE⊥OB，交射线BO于点E，CE的延长线交⊙O于点F，联结BC、BF、OF．
（1）如图2，当点E是线段BO的中点时，求弦BF的长；
（2）当点E在线段BO上时，设AD=x，

S△BOD

S△BOC

，求y关于x的函数解析式，并写出这个函数的定义域；
（3）当CD=1时，求四边形OCBF的面积．

Answer 1

分析：（1）先求出OC=OB=OF=5，再根据CE⊥OB，点E是线段BO的中点，得出EC=EF，OE=OB，则四边形OCBF是菱形，从而得出BF=OC=5；
（2）过点O作OH⊥AB，垂足为点H，求出AH，再求出OH=

OA2-AH2

=3，由AD=x，得BD=8-x，DH=|x-4|，利用勾股定理得OD=

OH2+DH2

=

9+(x-4)2

，再根据

S△BOD

S△BOC

=

OD

OC

得：y=

9+(x-4)2

5

；
（3）由CD=1，得OD=4，求出DH=

OD2-OH2

=

7

，BD=4-

7

或4+

7

，再证出△OBC≌△OBF，得出S_{四边形OCBF}=2S_△OBC，则当BD=4+

7

时，S_△OBD=

1

2

BD•OH，
由CD=1，OD=4，得S_△OBC=

5

4

S_△OBD，S_{四边形OCBF}=2S_△OBC=

15

4

（4+

7

）；当BD=4-

7

时，同理可得：S_{四边形OCBF}=2S_△OBC=

15

4

（4-

7

）．

解答：解：（1）∵点C，B，F在⊙O上，
∴OC=OB=OF=5，
∵CE⊥OB，点E是线段BO的中点，
∴EC=EF，OE=OB，
∴四边形OCBF是菱形，
∴△OBC是等边三角形，
∴BF=OC=5；

（2）过点O作OH⊥AB，垂足为点H，
∵OA=OB，OH⊥AB，
∴AH=

1

2

AB=

1

2

×8=4，
在Rt△OAH中，利用勾股定理，得：
OH=

OA2-AH2

=

52-42

=3，
由AD=x，得BD=8-x，DH=|x-4|，
在Rt△ODH中，利用勾股定理，得：
OD=

OH2+DH2

=

9+(x-4)2

，
于是，△BOD与△BOC同高，
得：

S△BOD

S△BOC

=

OD

OC

=

9+(x-4)2

5

，
即得：y=

9+(x-4)2

5

，
这个函数的定义域为

7

4

≤x＜8；

（3）由CD=1，得OD=4，
∴DH=

OD2-OH2

=

42-32

=

7

，
∴BD=4-

7

或4+

7

，
∵

OC=OF BC=BF OB=OB

，
∴△OBC≌△OBF，
∴S_△OBC=S_△OBF，
∴S_{四边形OCBF}=2S_△OBC，
当BD=4+

7

时，S_△OBD=

1

2

BD•OH=

1

2

×3（4+

7

）=

3

2

（4+

7

），
由CD=1，OD=4，得S_△OBC=

5

4

S_△OBD=

15

8

（4+

7

），
∴S_{四边形OCBF}=2S_△OBC=

15

4

（4+

7

）；
当BD=4-

7

时，
同理可得：S_{四边形OCBF}=2S_△OBC=

15

4

（4-

7

）；
∴四边形OCBF的面积等于

15

4

（4-

7

）或

15

4

（4+

7

）．

点评：此题考查了圆的综合，用到的知识点是勾股定理、垂经定理、四边形三角形的面积、全等三角形的判定与性质，关键是做出辅助线，综合利用有关定理列出算式进行计算．