Question

如图，以△ABC的BC边为直径作圆O，分别交AC、AB于E、F两点，过A作圆O的切线，切点为D，并且点E、F为劣弧的三等分点，求∠CAD的大小．

Answer 1

解：连接BE、BD、DF、OD，设圆O半径为r，EC长为l，
∵E为弧CF的中点，
∴∠ABE=∠CBE，
又∵BE⊥CE，
∴△ABC为等腰三角形，
即AB=BC=2r，AE=EC=l，
∵E，F为弧CD的三等分点，
∴DF=EC=L，
∵AD，AC分别为⊙O的切线和割线，
∴AD²=AE•AC，即AD=l，
又∵△ADF∽△ABD，
∴=，
即BD=r，
∵BD²=DO²+OB²，
∴∠DBO=45°，
∵∠DBF=∠FBE=∠EBC，
AB=BC，
∴∠ABC=∠DAB=30°，
∠BAC=75°，
∴∠CAD=105°．
分析：根据已知得出△ABC为等腰三角形，进而利用切割线定理求出AD=l，从而得出BD=r，即可得出∠ABC=∠DAB=30°，∠BAC=75°，得出答案．
点评：此题主要考查了切线的性质以及全等三角形的性质和圆周角定理，熟练利用切割线定理得出AD=l，BD=r是解题关键．