Question

3．直线y=x+4分别与x轴、y轴相交于点M，N，边长为2的正方形OABC一个顶点O在坐标系的原点，直线AN与MC相交于点P，若正方形绕着点O旋转一周，则点P到点（0，2）长度的最小值是（　　）

• A． 2$\sqrt{2}$-2
• B． 3-2$\sqrt{2}$
• C． $\frac{2\sqrt{5}}{5}$
• D． 1

Answer 1

分析 首先证明△MOC≌△NOA，推出∠MPN=90°，推出P在以MN为直径的圆上，所以当圆心G，点P，C（0，2）三点共线时，P到C（0，2）的最小值．求出此时的PC即可．

解答 解：在△MOC和△NOA中，
$\left\{\begin{array}{l}{OA=OC}\\{∠MOC=∠AON}\\{OM=ON}\end{array}\right.$，
∴△MOC≌△NOA，
∴∠CMO=∠ANO，
∵∠CMO+∠MCO=90°，∠MCO=∠NCP，
∴∠NCP+∠CNP=90°，
∴∠MPN=90°
∴MP⊥NP，
在正方形旋转的过程中，同理可证，∴∠CMO=∠ANO，可得∠MPN=90°，MP⊥NP，


∴P在以MN为直径的圆上，
∵M（-4，0），N（0，4），
∴圆心G为（-2，2），半径为2$\sqrt{2}$，
∵PG-GC≤PC，
∴当圆心G，点P，C（0，2）三点共线时，PC最小，
∵GN=GM，CN=CO=2，
∴GC=$\frac{1}{2}$OM=2，
这个最小值为GP-GC=2$\sqrt{2}$-2．
故选A．

点评 本题考查一次函数与几何变换、正方形的性质、圆的有关知识，解题的关键是发现点P在以MN为直径的圆上，确定点P的位置是解题的关键，属于中考常考题型．