Question

如图所示，AB=AC，∠A=120°，点E在AB边上，EF垂直平分AB，交BC于F，EG⊥BC，垂足为G，若GF=4，求CF的长．

Answer 1

解：连接AF．
∵AB=AC，∠BAC=120°，
∴∠B=∠C=30°，
∵EF⊥AB，EG⊥BF，
∴∠BEG+∠GEF=90°，又∠B+∠BEG=90°，
∴∠GEF=∠B=30°，
∵GF=4，
∴在Rt△GEF中，EF=2GF=8，
∴在Rt△BEF中，BF=2EF=16，
∵EF垂直平分AB，∴AF=BF=16，
∴∠BAF=∠B=30°，
∴∠FAC=120°-30°=90°，
又∵∠C=30°，
∴FC=2AF=32．
分析：连接AF，由AB=AC，且∠BAC=120°，利用等边对等角及三角形的内角和定理求出∠B与∠C的度数为30°，再由EF垂直于AB，EG垂直于BC，得到两对角互余，利用同角的余角相等得到∠GEF的度数为30°，在直角三角形EFG中，利用30°所对的直角边等于斜边的一半，由GF的长求出EF的长，在直角三角形EFB中，再利用30°所对的直角边等于斜边的一半，由EF的长求出BF的长，即为AF的长，由∠BAC-∠BAF求出∠FAC为直角，利用30°所对的直角边等于斜边的一半，由AF的长即可求出FC的长．
点评：此题考查了含30°直角三角形的性质，线段垂直平分线定理，以及等腰三角形的性质，熟练掌握性质及定理是解本题的关键．