Question

如图，已知反比例函数y=

k1

x

的图象与一次函数y=k₂x+b的图象交于A（2，1），B（-1，n）两点．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）在直线AB上是否存在一点P，使△APO∽△AOB？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．（可直接引用的公式：已知两点P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），两点距离公式为：|P1P2|=

(x1-x2)2+(y1-y2)2

）

Answer 1

考点：反比例函数综合题

专题：

分析：（1）由y=

k1

x

经过A（2，1），可求得反比例函数的解析式，继而求得点B的坐标，则可求得一次函数的解析式；
（2）首先假设存在一点P，使△APO∽△AOB，由点P在直线y=x-1上，可设点P（a，a-1），然后由相似三角形的对应边成比例与两点间的距离公式，组成方程组，继而求得答案．

解答：解：（1）∵y=

k1

x

经过A（2，1），
∴1=

k1

2

，k₁₌2，
∴反比例函数关系式为y=

2

x

，
∵B（-1，n）在y=

2

x

上，
∴n=-2…（2分）
∴B点的坐标为（-1，-2）．
又∵y=k₂x+b经过A、B两点，
∴

2k2+b=1 -k2+b=-2

，
解得：

k2=1 b=-1

，
∴一次函数的关系式为y=x-1；

（2）在直线AB上存在点P，能使△APO∽△AOB．
假设存在一点P，使△APO∽△AOB，
∵点P在直线y=x-1上，
∴可设点P（a，a-1），…（6分）
∵△APO∽△AOB，
∴

AP

AO

=

AO

AB

，
即：AP=

AO

AB

2…①…（7分）
由两点距离公式可得：AO=

22+12

=

5

，AB=

32+32

=3

2

，AP²=（2-a）²+[1-（a-1）]²；
代入①式得：(

( 5 )2

3 2

)2=(2-a)2+[1-(a-1)]2，
即(2-a)2=

25

36

，…（11分）
∴a-2=±

5

6

，a=

7

6

，或a=

17

6

…（12分）
经检验a=

17

6

不合题意，舍去 …（13分）
∴P点的坐标为(

7

6

，

1

6

)．…（14分）
∴存在点P，使△APO∽△AOB，此时P点的坐标为(

7

6

，

1

6

)．…（14分）

点评：此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题以及相似三角形的判定与性质．此题难度较大，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．