Question

如图，在平面直角三角形坐标系中，A、B、C三点的坐标分别为（0，2），（-2，0），（1，0）．
（1）求直线AC的解析式；
（2）P为射线AC上一动点，若点P运动到使BP垂直AC时，设BP交AO于点H，求AH的长；
（3）在射线AC上是否存在一点P，使得PA=PB？若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：一次函数综合题

专题：

分析：（1）由A（0，2）C（1，0）用待定系数法，得y=-2x+2；
（2）作BP垂直AC于P交AO于H，则三角形HBO相似于三角形CAO，利用相似三角形的对应边的比相等得到比例式，从而得到AH=1；
（3）作AB中垂线，可知中垂线过原点，（AOB是等腰直角三角形），易得中垂线解析式为y=-x，与AC求交点，可得P（2，-2）．

解答：解：（1）设直线AC的解析式为y=kx+b，
∵经过点A（0，2）、C（1，0），
∴

b=2 k+b=0

，
解得：

l=-2 b=2

，
∴直线AC的解析式为y=-2x+2；

（2）作BP垂直AC于P交AO于H，
则△HBO∽△CAO，
则

OH

BO

=

CO

AO

，
∵AO=BO=2，CO=1，
∴HO=1，
∴AH=1；

（3）作AB的垂直平分线，
∵AO=BO=2，
∴AB的垂直平分线过原点，
∴AB平分角AOB，
∴AB的垂直平分线的解析式为y=-x，
∵与AC相交，
∴

y=-x y=-2x+2

，
解得：

x=2 y=-2

，
∴P（2，-2）．

点评：本题考查了一次函数的综合知识，题目中还用到了相似三角形的知识，是一道综合题，难度较大，应加强此类题目的训练．