Question

如图，在矩形ABCD中，点E是CD上一点，沿AE将△ADE翻折，使点D落在BC上的F处，若折痕AE=5

5

，EC：FC=3：4，矩形ABCD的周长为

 

．

Answer 1

考点：翻折变换（折叠问题）

专题：

分析：根据比例设EC=3k，FC=4k，利用勾股定理列式求出EF，再根据翻折的性质可得DE=EF，然后求出AB=CD=8k，再求出△ABF和△FCE相似，根据相似三角形对应边成比例列式求出BF，从而得到BC，再根据矩形的对边相等可得AD=BC，然后在Rt△ADE中，利用勾股定理列方程求出k，然后求出AD、CD，再利用矩形的周长公式列式计算即可得解．

解答：解：∵EC：FC=3：4，
∴设EC=3k，FC=4k，
由勾股定理得，EF=

EC2+FC2

=

(3k)2+(4k)2

=5k，
∵沿AE将△ADE翻折点D落在BC上的F处，
∴DE=EF，∠AFE=90°，
∴AB=CD=3k+5k=8k，
∵∠BAF+∠AFB=90°，
∠CFE+∠AFB=90°，
∴∠BAF=∠CFE，
又∵∠B=∠C=90°，
∴△ABF∽△FCE，
∴

AB

FC

=

BF

EC

，
即

8k

4k

=

BF

3k

，
解得BF=6k，
∴BC=BF+FC=6k+4k=10k，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC=10k，
在Rt△ADE中，AD²+DE²=AE²，
即（10k）²+（5k）²=（5

5

）²，
解得k=1，
所以，AD=10，CD=8，
所以，ABCD的周长=2（10+8）=36．
故答案为：36．

点评：本题考查了翻折变换的性质，矩形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，利用“设k法”表示出矩形的边长更简便，难点在于利用勾股定理列方程求出k值．