如图①.已知:在矩形ABCD的边AD上有一点O.OA=3.以O为圆心.OA长为半径作圆.交AD于M.恰好与BD相切于H.过H作弦HP∥AB.弦HP=3．若点E是CD边上一动点.过E作直线EF∥BD交BC于F.再把△CEF沿着动直线EF对折.点C的对应点为G．设CE=x.△EFG与矩形ABCD重叠部分的面积为S．(1)求证:四边形ABHP是菱形,(2)问△EFG的直角顶� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

如图①，已知：在矩形ABCD的边AD上有一点O，OA=

，以O为圆心，OA长为半径作圆，交AD于M，恰好与BD相切于H，过H作弦HP∥AB，弦HP=3．若点E是CD边上一动点（点E与C，D不重合），过E作直线EF∥BD交BC于F，再把△CEF沿着动直线EF对折，点C的对应点为G．设CE=x，△EFG与矩形ABCD重叠部分的面积为S．
（1）求证：四边形ABHP是菱形；
（2）问△EFG的直角顶点G能落在⊙O上吗？若能，求出此时x的值；若不能，请说明理由；
（3）求S与x之间的函数关系式，并直接写出FG与⊙O相切时，S的值．

考点：圆的综合题,含30度角的直角三角形,菱形的判定,矩形的性质,垂径定理,切线的性质,切线长定理,轴对称的性质,特殊角的三角函数值

专题：压轴题

分析：（1）连接OH，可以求出∠HOD=60°，∠HDO=30°，从而可以求出AB=3，由HP∥AB，HP=3可证到四边形ABHP是平行四边形，再根据切线长定理可得BA=BH，即可证到四边形ABHP是菱形．
（2）当点G落到AD上时，可以证到点G与点M重合，可求出x=2．
（3）当0＜x≤2时，如图①，S=S_△EGF，只需求出FG，就可得到S与x之间的函数关系式；当2＜x＜3时，如图④，S=S_△GEF-S_△SGR，只需求出SG、RG，就可得到S与x之间的函数关系式．当FG与⊙O相切时，如图⑤，易得FK=AB=3，KQ=AQ-AK=2-2

x．再由FK=

KQ即可求出x，从而求出S．

解答：解：（1）证明：连接OH，如图①所示．

∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC=∠BAD=90°，BC=AD，AB=CD．
∵HP∥AB，
∴∠ANH+∠BAD=180°．
∴∠ANH=90°．
∴HN=PN=

HP=

．
∵OH=OA=

，
∴sin∠HON=

．
∴∠HON=60°
∵BD与⊙O相切于点H，
∴OH⊥BD．
∴∠HDO=30°．
∴OD=2

．
∴AD=3

．
∴BC=3

．
∵∠BAD=90°，∠BDA=30°．
∴tan∠BDA=

．
∴AB=3．
∵HP=3，
∴AB=HP．
∵AB∥HP，
∴四边形ABHP是平行四边形．
∵∠BAD=90°，AM是⊙O的直径，
∴BA与⊙O相切于点A．
∵BD与⊙O相切于点H，
∴BA=BH．
∴平行四边形ABHP是菱形．

（2）△EFG的直角顶点G能落在⊙O上．
如图②所示，点G落到AD上．

∵EF∥BD，
∴∠FEC=∠BDC．
∵∠BDC=90°-30°=60°，
∴∠CEF=60°．
由折叠可得：∠GEF=∠CEF=60°．
∴∠GED=60°．
∵CE=x，
∴GE=CE=x．ED=DC-CE=3-x．
∴cos∠GED=

3-x

．
∴x=2．
∴GE=2，ED=1．
∴GD=

．
∴OG=AD-AO-GD=3

．
∴OG=OM．
∴点G与点M重合．
此时△EFG的直角顶点G落在⊙O上，对应的x的值为2．
∴当△EFG的直角顶点G落在⊙O上时，对应的x的值为2．

（3）①如图①，
在Rt△EGF中，
tan∠FEG=

．
∴FG=

x．
∴S=

GE•FG=

x•

x²．
②如图③，

ED=3-x，RE=2ED=6-2x，
GR=GE-ER=x-（6-2x）=3x-6．
∵tan∠SRG=

3x-6

，
∴SG=

（x-2）．
∴S_△SGR=

SG•RG=

•

（x-2）•（3x-6）．
=

（x-2）²．
∵S_△GEF=

x²，
∴S=S_△GEF-S_△SGR
=

x²-

（x-2）²．
=-

x²+6

x-6

．
综上所述：当0＜x≤2时，S=

x²；当2＜x＜3时，S=-

x²+6

x-6

．
当FG与⊙O相切于点T时，延长FG交AD于点Q，过点F作FK⊥AD，垂足为K，如图④所示．

∵四边形ABCD是矩形，
∴BC∥AD，∠ABC=∠BAD=90°
∴∠AQF=∠CFG=60°．
∵OT=

，
∴OQ=2．
∴AQ=

+2．
∵∠FKA=∠ABC=∠BAD=90°，
∴四边形ABFK是矩形．
∴FK=AB=3，AK=BF=3

x．
∴KQ=AQ-AK=（

+2）-（3

x）=2-2

x．
在Rt△FKQ中，tan∠FQK=

．
∴FK=

QK．
∴3=

（2-2

x）．
解得：x=3-

．
∵0＜3-

≤2，
∴S=

x²=

×（3-

）²
=

-6．
∴FG与⊙O相切时，S的值为

-6．

点评：本题考查了矩形的性质、菱形的性质、切线的性质、切线长定理、垂径定理、轴对称性质、特殊角的三角函数值、30°角所对的直角边等于斜边的一半、等腰三角形的性质等知识，综合性非常强．

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