Question

如图，矩形ABCD中，AD=3厘米，AB=a厘米（a＞3），动点M，N同时从B点出发，分别沿B→A，B→C运动，速度是1厘米/秒．过M作直线垂直于AB，分别交AN，CD于P，Q，当点N到达终点C时，点M也随之停止运动，设运动时间为t秒。

（1）若a=4厘米，t=1秒，则PM=______厘米；
（2）若a=5厘米，求时间t，使△PNB∽△PAD，并求出它们的相似比；
（3）若在运动过程中，存在某时刻使梯形PMBN与梯形PQDA的面积相等，求a的取值范围；
（4）是否存在这样的矩形：在运动过程中，存在某时刻使梯形PMBN，梯形PQDA，梯形PQCN的面积都相等？若存在，求a的值；若不存在，请说明理由。

Answer 1

解：（1）；
（2），使，相似比为
（3）∵，
∴
即
∵
∵
当梯形与梯形的面积相等，即


化简得
∵
∴
则
∴。
（4）∵时，梯形与梯形的面积相等
∴梯形的面积与梯形的面积相等即可，
则
∴
把代入，解得
所以
所以，存在a，当时梯形与梯形的面积、梯形的面积都相等。