Question

定义：如果一个y与x的函数图象经过平移后能与某反比例函数的图象重合，那么称这个函数是y与x的“反比例平移函数”．例如：y=

1

x-2

+1的图象向左平移2个单位，再向下平移1个单位得到y=

1

x

的图象，则y=

1

x-2

+1是y与x的“反比例平移函数”．
（1）若矩形的两边分别是2cm、3cm，当这两边分别增加x（cm）、y（cm）后，得到的新矩形的面积为8cm²，求y与x的函数表达式，并判断这个函数是否为“反比例平移函数”．
（2）如图，在平面直角坐标系中，点O为原点，矩形OABC的顶点A、C的坐标分别为（9，0）、（0，3）．点D是OA的中点，连接OB、CD交于点E，“反比例平移函数”y=

ax+k

x-6

的图象经过B、E两点．
①求这个“反比例平移函数”的表达式；②这个“反比例平移函数”的图象经过适当的变换与某一个反比例函数的图象重合，请直接写出这个反比例函数的表达式

 

．

Answer 1

考点：反比例函数综合题

专题：

分析：（1）根据长方形的面积公式即可得到一个关于x、y的方程，整理即可得到函数解析式；
（2）首先求得直线CD和OB的解析式，解方程组求得E的坐标，然后利用待定系数法求得a、k的值，进而可以判断．

解答：解：（1）根据题意得：（2+x）（3+y）=8，
解得：y=

8

x+2

-3，
向右平移2个单位长度，向上平移3个单位长度即可得到反比例函数y=

8

x

，则y=

8

x+2

-3是“反比例平移函数”．

（2）①∵D是OA的中点，
∴D的坐标是（

9

2

，0），
设直线CD的解析式是：y=kx+b，
则

b=3 9 2 k+b=0

，
解得：

b=3 k=- 2 3

，
则直线AC的解析式是：y=-

2

3

x+3，
设直线OB的解析式是：y=mx，根据题意得：9m=3，
解得：m=

1

3

，
则直线OB的解析式是：y=

1

3

x，
解方程组：

y=- 2 3 x+3 y= 1 3 x

，
解得：

x=3 y=1

，
则E的坐标是（3，1），
则根据题意得：

3a+k 3-6 =1 9a+k 9-6 =3

，
解得：

a=2 k=-9

，
则“反比例平移函数”y=

ax+k

x-6

的解析式是：y=

2x-9

x-6

；
②y=

2x-9

x-6

=

2x-12+3

x-6

=

3

x-6

+2，
则向左平移6个单位长度，向下平移2个单位长度，得到反比例函数y=

3

x

．

点评：本题考查了待定系数法求函数的解析式式，以及函数图象的交点的求法，即解解析式组成的方程组，同时，本题考查了函数的图象平移的方法．