Question

已知关于x的方程x²-2（k-1）x+k²=0有两个实数根x₁、x₂．
（1）求k的取值范围；
（2）若函数y=x₁+x₂-x₁x₂+1，求函数y的最大值．

Answer 1

解：（1）∵方程x²-2（k-1）x+k²=0有两个实数根x₁、x₂，
∴△≥0，即4（k-1）²-4k²≥0，解得k≤，
即k的取值范围为k≤；

（2）根据根与系数的关系得，x₁+x₂=2（k-1），x₁x₂=k²，
y=x₁+x₂-x₁x₂+1
=2（k-1）-k²+1
=-（k-1）²，
∵当k＜1时，y随x的增大而增大，
∴当k=时，y的值最大，
即k=，y的最大值=-（-1）²=-．
分析：（1）根据△的意义由方程x²-2（k-1）x+k²=0有两个实数根x₁、x₂得到△≥0，即4（k-1）²-4k²≥0，解不等式即可得到k的取值范围；
（2）根据一元二次方程根与系数的关系得到x₁+x₂=2（k-1），x₁x₂=k²，则y=x₁+x₂-x₁x₂+1=2（k-1）-k²+1=-（k-1）²，利用二次函数的性质，对称轴为直线k=1，当k＜1时，y随x的增大而增大，当k=时，y的值最大，然后把k=代入计算即可．
点评：本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b²-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程根与系数的关系以及二次函数的性质．