Question

18．已知而成函数y=x²-2（k+1）x+k²-2k-3与x轴有两个交点，当k取最小整数时的二次函数的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方，图象的其余部分不变，得到一个新图象，则新图象与直线y=x+m有三个不同公共点时m的值是1或$\frac{13}{4}$．

Answer 1

分析 根据题意求得k=0，得到解析式，将二次函数的解析式化为顶点式，可求出其顶点坐标；令抛物线的解析式中，y=0，可求出它函数图象与x轴的交点坐标．画出此函数图象后，可发现，若直线与新函数有3个交点，可以有两种情况：
①过交点（-1，0），根据待定系数法，可得m的值；②不过点（-1，0），直线与y₁=-（x-1）²+4（-1≤x≤3）相切，根据判别式，可得答案．

解答 解：∵函数y=x²-2（k+1）x+k²-2k-3与x轴有两个交点，
∴△=[-2（k+1）]²-4×1×（k²-2k-3）＞0，
解得k＞-1，
当k取最小整数时，k=0，
∴抛物线为y=x²-2x-3，
将该二次函数图象在x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方，图象的其余部分不变，得到一个新图象，所以新图象的解析式为y₁=（x-1）²-4（x≤-1或x≥3）y₁=-（x-1）²+4（-1≤x≤3）．
①因为y₂=x+m的k＞0，所以它的图象从左到右是上升的，当它与新图象有3个交点时它一定过（-1，0）把（-1，0）代入y₂=x+m得-1+m=0 所以m=1，
②y₁=-（x-1）²+4（-1≤x≤3）与y=x+m相切时，图象有三个交点，
-（x-1）²+4=x+m，
△=1-4（m-3）=0，
解得m=$\frac{13}{4}$．
故答案为：1或$\frac{13}{4}$．

点评 本题考查了二次函数图象与几何变换，分类讨论是解题关键，利用了待定系数法求函数解析式，直线与抛物线相切时判别式等于零是解题关键．