Question

16．如图，直线PQ与⊙O相交于点A、B，BC是⊙O的直径．
（1）请你按以下步骤尺规作图：第一步，过点B作∠CBQ的角平分线交⊙O于点D；第二步，过D作PQ的垂线，垂足为E；
（2）求证：DE与⊙O相切；
（3）己知BC=10，BE=2，求DE的长．

Answer 1

分析 （1）利用尺规作图作出∠CBQ的角平分线和DE⊥PQ即可；
（2）连接OD，由OD=OB得出∠OBD=∠ODB，然后根据∠OBD=∠DBQ，得出∠ODB=∠DBQ，证得OD∥PQ，即可证得OD⊥DE，从而证得DE与⊙O相切；
（3）连接CD，根据圆周角定理证得∠BDC=90°，即可证得△BDC∽△BED，得出$\frac{BE}{BD}$=$\frac{BD}{BC}$，BD²=BE•BC=2×10=20，最后根据勾股定理即可求得DE的长．

解答 解：（1）如图：第一步，过点B作∠CBQ的角平分线交⊙O于点D；第二步，过D作PQ的垂线，垂足为E；
（2）连接OD，
∴OD=OB，
∴∠OBD=∠ODB，
∵∠OBD=∠DBQ，
∴∠ODB=∠DBQ，
∴OD∥PQ，
∵DE⊥PQ，
∴OD⊥DE，
∴DE与⊙O相切；
（3）连接CD，
∵BC是直径，
∴∠BDC=90°，
∵∠OBD=∠DBQ，∠BDC=∠DEB=90°，
∴△BDC∽△BED，
∴$\frac{BE}{BD}$=$\frac{BD}{BC}$，
∴BD²=BE•BC=2×10=20，
∴DE=$\sqrt{B{D}^{2}-B{E}^{2}}$=$\sqrt{20-{2}^{2}}$=4．

点评 本题考查了尺规作图，切线的判定，圆周角定理，三角形相似的判定和性质，勾股定理的应用等，作出辅助线构建等腰三角形和直角三角形是解题的关键．