Question

已知关于x的方程x²+（m+2）x+2m-1=0．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根．
（2）当m为何值时，方程的两根互为相反数？并求出此时方程的解．

Answer 1

（1）证明：△=（m+2）²-4（2m-1）
=m²-4m+8
=（m-2）²+4，
∵（m-2）²≥0，
∴（m-2）²+4＞0，
即△＞0，
所以方程有两个不相等的实数根；
（2）设方程的两个根为x₁，x₂，由题意得：
x₁+x₂=0，即m+2=0，解得m=-2，
当m=-2时，方程两根互为相反数，
当m=-2时，原方程为x²-5=0，
解得：x₁=-，x₂=．
分析：（1）先计算出△=（m+2）²-4（2m-1），变形得到△=（m-2）²+4，由于（m-2）²≥0，则△＞0，然后根据△的意义得到方程有两个不相等的实数根；
（2）利用根与系数的关系得到x₁+x₂=0，即m+2=0，解得m=-2，则原方程化为x²-5=0，然后利用直接开平方法求解．
点评：本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b²-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了解一元二次方程和根与系数的关系．