Question

9．如图1，△ABC内接于⊙O，AC是直径，点D是AC延长线上一点，且∠DBC=∠BAC，tan∠BAC=$\frac{1}{2}$．
（1）求证：BD是⊙O的切线；
（2）求$\frac{DC}{AC}$的值；
（3）如图2，过点B作BG⊥AC交AC于点F，交⊙O于点G，BC、AG的延长线交于点E，⊙O的半径为6，求BE的长．

Answer 1

分析 （1）连接OB．欲证明BD是切线，只要证明DB⊥OB即可；
（2）由△DBC∽△DAB，推出$\frac{DB}{AD}$=$\frac{DC}{BD}$=$\frac{BC}{AB}$，在Rt△ABC中，由tan∠BAC=$\frac{BC}{AB}$=$\frac{1}{2}$，推出$\frac{BD}{AD}$=$\frac{DC}{BD}$=$\frac{1}{2}$，设CD=a，则BD=2a，AD=4a，AC=3a，由此即可解决问题；
（3）如图2中，连接CG．由△ECG∽△EAB，推出$\frac{EC}{AE}$=$\frac{EG}{EB}$=$\frac{CG}{AB}$=$\frac{1}{2}$，设EC=y，则AE=2y，EG=2y-$\frac{24}{5}$$\sqrt{5}$，EB=y+$\frac{12}{5}$$\sqrt{5}$，由此想办法列出方程即可解决问题；

解答 （1）证明：如图1中，连接OB．

∵AB是直径，
∴∠ABC=90°，
∵OB=OA=OC，
∴∠A=∠OBA，∠OBC=∠OCB，
∵∠A=∠DBC，∠A+∠BCA=90°，
∴∠DBC+∠OBC=90°，
∴∠OBD=90°，即OB⊥BD，
∴DB是⊙O的切线．

（2）解：∵∠D=∠D，∠DBC=∠A，
∴△DBC∽△DAB，
∴$\frac{DB}{AD}$=$\frac{DC}{BD}$=$\frac{BC}{AB}$，
在Rt△ABC中，∵tan∠BAC=$\frac{BC}{AB}$=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{BD}{AD}$=$\frac{DC}{BD}$=$\frac{1}{2}$，设CD=a，则BD=2a，AD=4a，AC=3a，
∴$\frac{CD}{AC}$=$\frac{1}{3}$．

（3）解：如图2中，连接CG．

在Rt△ABC中，∵AC=12，BC：AB=1：2，
∴BC=$\frac{12}{5}$$\sqrt{5}$，AB=$\frac{24}{5}$$\sqrt{5}$，
∵AC⊥BG，
∴BF=FG，
∴AB=AG=$\frac{24}{5}$$\sqrt{5}$，BC=CG，
∵∠E=∠E，∠ECG=∠EAB，
∴△ECG∽△EAB，
∴$\frac{EC}{AE}$=$\frac{EG}{EB}$=$\frac{CG}{AB}$=$\frac{1}{2}$，设EC=y，则AE=2y，EG=2y-$\frac{24}{5}$$\sqrt{5}$，EB=y+$\frac{12}{5}$$\sqrt{5}$，
∵BE=2EG，
∴y+$\frac{12}{5}$$\sqrt{5}$=2（2y-$\frac{24}{5}$$\sqrt{5}$），
∴y=4$\sqrt{5}$，
∴EB=4$\sqrt{5}$+$\frac{12}{5}$$\sqrt{5}$=$\frac{32}{5}$$\sqrt{5}$．

点评 本题考查相似三角形综合题、切线的判定和性质、相似三角形的判定和性质、锐角三角函数、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考常考题型．