Question

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AM、AN分别是BC边上的中线和∠BAC的平分线，过C作CD⊥AN于D．
（Ⅰ）求证：DM=（AB-AC）
（Ⅱ）求证：MN•MC=．

Answer 1

（1）证明：延长CD交AB于E，
∵AN平分∠BAC，
∴∠BAN=∠CAN，
∵∠ACB=90°，CD⊥AN，
∴∠ADC=∠ADE=∠ACB=90°，
∴∠CAN+∠ACD=∠ACD+∠ECB=90°，
∴∠ECB=∠CAD=∠BAD，
在△AED和△ACD中
，
∴△AED≌△ACD，
∴AE=AC，ED=DC，
∵AM是边BC上的中线，
∴DM∥BE，
DM=BE=（AB-AE），
即DM=（AB-AC）．

（2）证明：由（1）知：∠ECB=∠BAN，DM∥BE，
∴∠ECB=∠BAN=∠NDM，
∵∠NDM=∠DCM，∠DMC=∠DMC，
∴△DMN∽△CMD，
∴=，
即DM²=MN•MC，
由（1）DM=（AB-AC），
∴DM²=（AB-AC）²，
即MN•MC=（AB-AC）²．
分析：（1）根据角平分线定义和直角三角形性质求出∠ECB=∠CAD=∠BAD，根据ASA证△AED≌△ACD，推出DM是△CBE的中线，根据三角形的中位线性质推出DM=BE即可；
（2）求出∠NDM=∠DCM，∠DMC=∠DMC，证△DMN∽△CMD，得出比例式，推出DM²=MN•MC即可．
点评：本题综合考查了全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，三角形的中位线定理，三角形的角平分线、中线、高，直角三角形的性质等知识点，检查学生能否综合运用这些性质进行推理，此题综合性较强，有一定难度，但题型较好．