Question

6．如图，已知二次函数图象的顶点坐标为（2，0），直线y=x+1与二次函数的图象交于A，B两点，其中点A在y轴上．
（1）求二次函数的解析式；
（2）证明：点（-m，2m-1）不在（1）中所求的二次函数的图象上；
（3）若E点的横坐标为4，过E作x轴的垂线交直线y=x+1于点C，交二次函数的图象于D点，二次函数的图象上是否存在点P，使得S_△POE=2S_△ABD？若存在，求出P点坐标，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由二次函数图象的顶点坐标为（2，0），故根据抛物线的顶点式写出抛物线解析式．
（2）把该点代入抛物线上，得到m的一元二次方程，求根的判别式，即可判断．
（3）由直线y=x+1与二次函数的图象交于A，B两点，解得A、B两点坐标，求出D点坐标，首先判断AD∥OE，设P（x，$\frac{1}{4}$x²-x+1），列出方程即可解决问题．

解答 （1）解：顶点坐标为（2，0），可设解析式为：y=a（x-2）²（a≠0），
把x=0代入y=x+1得y=1，则A（0，1）
再代入y=a（x-2）²得：1=4a，则a=$\frac{1}{4}$，
故二次函数的解析式为：y=$\frac{1}{4}$（x-2）²=$\frac{1}{4}$x²-x+1．

（2）证明：设点（-m，2m-1）在二次函数y=$\frac{1}{4}$x²-x+1的图象上，
则有：2m-1=$\frac{1}{4}$m²+m+1，
整理得m²-4m+8=0，
∵△=（-4）²-4×8=-16＜0
∴原方程无解，
∴点（-m，2m-1）不在二次函数y=$\frac{1}{4}$x²-x+1的图象上．

（3）解：二次函数的图象上存在点P，使得S_△POE=2S_△ABD，
如图，∵E点的横坐标为4，
∴E（4，0），
∵CE⊥OE，
∴C（4，5），D（4，1），
∵A（0，1），D（4，1），
∴AD∥OE，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=x+1}\\{y=\frac{1}{4}{x}^{2}-x+1}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=8}\\{y=9}\end{array}\right.$，
∴B（8，9），
∴S_△ABD=$\frac{1}{2}$×4×8=16．
设P（x，$\frac{1}{4}$x²-x+1），
由题意有：S_△POE=$\frac{1}{2}$×4（$\frac{1}{4}$x2-x+1）=$\frac{1}{2}$x²-2x+2，
∵S_△POE=2S_△ABD
∴$\frac{1}{2}$x²-2x+2=32
解得x=-6或x=10，
当x=-6时，y=$\frac{1}{4}$×36+6+1=16，
当x=10时，y=$\frac{1}{4}$×100-10+1=16，
∴存在点P（-6，16）和P（10，16），使得S_△POE=2S_△ABD．

点评 本题考查了二次函数与一次函数的图象与性质、函数图象上点的坐标特征、待定系数法、平行四边形、图象面积计算等知识点，解题的关键是灵活运用这些知识解决问题，属于中考压轴题．