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    在Rt△ACD中，∠C=90°，∠ABD=135°，∠A=30°，BD=6，求AD的长度．

    解：∵∠ABD=135°，
    ∴∠DBC=45°，
    ∵∠C=90°，
    ∴∠CDB=45°，
    ∴BC=CD，
    又∵BD=6，
    ∴CD=3，
    ∵∠A=30°，
    ∴AD=2CD=6．
    分析：由邻补角的性质可知∠DBC=45°，所以可证明三角形DCB是等腰直角三角形，所以BC=CD，又因为BD=6，所以可求出DC的长，再根据在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，即可求出AD的长度．
    点评：本题考查了等腰三角形的判定和性质、勾股定理的应用以及在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质．
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    相关习题

    科目：初中数学 来源： 题型：阅读理解

    阅读下列材料，并解决后面的问题，在锐角△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，则
    （1）过点A作AD⊥BC于D（如图1），
    则在Rt△ABD中，AD=
     
    ；（限用a、b、c、∠A、∠B、∠C中的元素来表示）
    在Rt△ACD中，AD=
     
    ；
    ∴
     
    =
     

    ∴
     
    =
     

    同理最后可得，
     
    =
     
    =
     
    ；
    （2）用尺规画△ABC的外接圆⊙O，半径为r（图2），请你另用不同的方法证明以上结论；并写出上述结论与△ABC外接圆直径的关系．
    （3）应用：△ABC中，若∠A=30°，∠B=45°，b=
    		2
    ，则a=
     
    ，外接圆半径r=
     
    ．
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    科目：初中数学 来源： 题型：

    课题研究
    （1）如图（1），我们已经学习了直角三角形中的边角关系，在Rt△ACD中，sin∠A=
     
    ，所以CD=
     
    ，而S△ABC=
    1
    2
    AB•CD，于是可将三角形面积公式变形，得S△ABC=
     
    ．①其文字语言表述为：三角形的面积等于两边及其夹角正弦积的一半．这就是我们将要在高中学习的正弦定理．
    （2）如图（2），在△ABC中，CD⊥AB于D，∠ACD=α，∠DCB=β．
    ∵S△ABC=S△ADC+S△BDC，由公式①，得
    1
    2
    AC•BC•sin(α+β)=
    1
    2
    AC•CD•sinα+
    1
    2
    BC•CD•sinβ    ，即AC•BC•sin(α+β)=AC•CD•sinα+BC•CD•sinβ②．
    请你利用直角三角形边角关系，消去②中的AC、BC、CD，将得到新的结论．并写出解决过程．
    （3）利用（2）中的结论，试求sin75°和sin105°的值，并比较其大．
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    科目：初中数学 来源： 题型：

    如图，格点图中的每个小方格都是边长为1的正方形． 在建立平面直角坐标系后，点A（-2，0），B（2，0）．（下列画图要求均为格点图形且不得超出已给格点图）．
    （1）画出Rt△ABC，使得tan∠CAB=
    1
    2
    ，并写出C点坐标
    （2，2）
    （2，2）
    ；
    （2）把（1）中Rt△ABC以点A为位似中心放大，使放大前后对应边长的比为2：3，画出△AB'C'的图形；
    （3）是否存在点D（已知点除外），使得在Rt△ACD中满足tan∠CAD=
    1
    2
    ，若存在，请写出D点坐标
    （3，0）
    （3，0）
    ；若不存在，则直接回答不存在．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    如图1，由直角三角形边角关系，可将三角形面积公式变形，
    即：S△ABC=
    1
    2
    AB×CD    ，
    在Rt△ACD中，∵sinA=
    CD
    AC
    ，
    ∴CD=bsinA
    ∴S△ABC=
    1
    2
    bc×sin∠A    ．①
    即三角形的面积等于两边之长与夹角正弦之积的一半．
    如图2，在△ABC中，CD⊥AB于D，∠ACD=α，∠DCB=β．
    ∵S△ABC=S△ADC+S△BDC，由公式①，得
    1
    2
    AC×BC×sin(α+β)=
    1
    2
    AC×CD×sinα+
    1
    2
    BC×CD×sinβ    ，
    即AC×BC×sin（α+β）=AC×CD×sinα+BC×CD×sinβ．②
    请你利用直角三角形边角关系，消去②中的AC、BC、CD，只用∠α、∠β、∠α+∠β的正弦或余弦函数表示（直接写出结果）．
    （1）
    sin（α+β）=sinα×cosβ+cosα×sinβ
    sin（α+β）=sinα×cosβ+cosα×sinβ

    （2）利用这个结果计算：sin75°=
    		6
    + 
    		2
    4
    		6
    + 
    		2
    4
    ．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    如图，在Rt△ACD中，∠ADC=90°，AD=2，CD=1，点B在AD的延长线上，BD=l，连接BC．
    （1）求BC的长；
    （2）动点P从点A出发，向终点B运动，速度为1个单位/秒，运动时间为t秒．
    ①当t为何值时，△PDC≌△BDC；
    ②当t为何值时，△PBC是以PB为腰的等腰三角形？

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