Question

已知关于x的一元二次方程x²-3x+k=0方程有两实根x₁和x₂．
（1）求实数k的取值范围；
（2）当x₁和x₂是一个矩形两邻边的长且矩形的对角线长为

5

，求k的值．

Answer 1

考点：根的判别式,根与系数的关系,矩形的性质

专题：判别式法

分析：（1）利用一元二次方程根的判别式即可得到关于k的不等式，从而求解；
（2）根据根与系数的关系，以及

x

2 1

+

x

2 2

=（x₁+x₂）²-2x₁•x₂=5，即9-2k=5即可求解．

解答：解：（1）∵方程有两个实数根．
∴△=（-3）²-4k≥0，即9-4k≥0．
解得k≤

9

4

；
  
（2）由根与系数的关系可知：x₁+x₂=3，x₁•x₂=k．
∵

x

2 1

+

x

2 2

=（x₁+x₂）²-2x₁•x₂=5，
∴9-2k=5，
∴k=2．

点评：本题考查了一元二次方程根的情况与判别式△的关系和一元二次方程根与系数的关系：
（1）△＞0?方程有两个不相等的实数根；
（2）△=0?方程有两个相等的实数根；
（3）△＜0?方程没有实数根；
（4）x₁+x₂=-

b

a

；
（5）x₁x₂=

c

a

．