Question

阅读理解：
给定一个矩形，如果存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形的周长和面积的2倍，则这个矩形是给定矩形的“加倍”矩形．如图，矩形A₁B₁C₁D₁是矩形ABCD的“加倍”矩形．请你解决下列问题：
（1）边长为a的正方形存在“加倍”正方形吗？如果存在，求出“加倍”正方形的边长；如果不存在，说明理由．
（2）当矩形的长和宽分别为m，n时，它是否存在“加倍”矩形？请作出判断，说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据题意：若两个正方形是相似图形，根据相似图形的性质，面积比是相似比即周长比的平方；故不存在“加倍”正方形；
（2）设“加倍”矩形的长和宽分别为x，y，可得

x+y=2(m+n) xy=2mn

的关系，分析可得x，y就是关于A的方程A²-2（m+n）A+2mn=0的两个正根，判断可得：△=4（m²+n²）＞0，故存在“加倍”矩形．

解答：解：（1）不存在．
因为两个正方形是相似图形，当它们的周长比为2时，则面积比必定是4，所以不存在．
（相同解答均可给分，如：满足周长是2倍时，则面积就成了4倍，所以不存在）（4分）

（2）存在．（5分）
设“加倍”矩形的长和宽分别为x，y．
则：

x+y=2(m+n) xy=2mn

．（7分）
x，y就是关于A的方程A²-2（m+n）A+2mn=0的两个正根．（8分）
∵△=[-2（m+n）]²-8mn=4（m²+n²）（9分）．
当m，n不同时为零时，此题中，m＞0，n＞0．
∴△=4（m²+n²）＞0．（10分）
∴方程有两个不相等的正实数根x和y（11分）
即：存在一个矩形是已知矩形的“加倍”矩形（12分）

点评：解答本题要充分利用所有正方形相似的特殊性质；注意用根的判别式来判断根的存在问题．