Question

14．如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°．
（1）请你作出两腰的垂直平分线．
（2）若AB边的垂直平分线与AB，BC分别交于点D，E，AC边上的垂直平分线与AC，BC分别交于点G，F，则△AEF是什么形状？你能证明吗？
（3）若BC=10cm，试求△AEF的周长．

Answer 1

分析 （1）利用基本作图（作线段的垂直平分线）作DE垂直平分AB，FG垂直平分AC；
（2）先根据等腰三角形的性质和三角形内角和计算∠B=∠C=30°，再利用垂直平分线的性质得BE=AE，AF=CF，则∠EAB=∠B=30°，∠FAC=∠C=30°，然后根据三角形的外角性质可求出∠AEF=∠AFE=60°，于是可判断△AEF为等边三角形；
（3）利用AE=BE，AF=CF可得AE+EF+AF=BE+EF+CF=BC=10cm，从而可确定△AEF的周长．

解答 解：（1）如图，DE和GF为所作；

（2）△AEF为等边三角形．
理由如下：
∵AB=AC，∠BAC=120°，
∴∠B=∠C=30°，
∵DE垂直平分AB，FG垂直平分AC，
∴BE=AE，AF=CF，
∴∠EAB=∠B=30°，∠FAC=∠C=30°，
∴∠AEF=2∠B=60°，∠AFE=2∠C=60°，
∴△AEF为等边三角形；
（3）∵AE=BE，AF=CF，
∴AE+EF+AF=BE+EF+CF=BC=10cm，
∴△AEF的周长为10cm．

点评 本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．