Question

如图，在锐角△ABC中，BC=9，AH⊥BC于点H，且AH=6，点D为AB边上的任意一点，过点D作DE∥BC，交AC于点E．设△ADE的高AF为x（0＜x＜6），以DE为折线将△ADE翻折，所得的△A′DE与梯形DBCE重叠部分的面积记为y（点A关于DE的对称点A′落在AH所在的直线上）．
（1）当x=1时，y=______；
（2）求出当0＜x≤3时，y与x的函数关系式；
（3）求出3＜x＜6时，y与x的函数关系式．

Answer 1

解：（1）∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC
∴DE：BC=AF：AH，即DE：9=1：6，
∴DE=，
∴y=AF•DE=×1×=．
故答案为．

（2）当0＜x≤3时，△A′DE与梯形DBCE重叠部分的面积等于△ADE的面积，S_△ABC=BC•AH=27，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴，
即
∴y=（0＜x≤3）；

（3）如图，3＜x＜6时，点A′在△ABC外部，即△A′DE与梯形DBCE重叠部分为梯形MNED，
A′F=AF=x，FH=6-x，则A′H=x-（6-x）=2x-6，
∵△ADE∽△ABC，
∴DE：BC=AF：AH，即DE：9=x：6，
∴DE=x；
又∵MN∥DE，
∴△A′MN∽△A′DE，
∴MN：DE=A′H：A′F，即MN：x=（2x-6）：x，
∴MN=3x-9，
∴y=（6-x）（3x-9+x）
=-x²+18x-27（3＜x＜6）．
分析：（1）易证得△ADE∽△ABC，根据三角形相似的性质得DE：BC=AF：AH，即DE：9=1：6，可求出DE，然后根据三角形的面积公式计算即可；
（2）当0＜x≤3时，△A′DE与梯形DBCE重叠部分的面积等于△ADE的面积，由△ADE∽△ABC，根据三角形相似的性质，即可得到y与x的函数关系式；
（3）点A′在△ABC外部，即△A′DE与梯形DBCE重叠部分为梯形MNED，则A′F=AF=x，FH=6-x，则A′H=x-（6-x）=2x-6，先利用三角形相似的性质表示出DE=x；再利用△A′MN∽△A′DE，根据三角形相似的性质求出MN，然后根据梯形的面积公式即可得到y与x的函数关系式．
点评：本题考查了三角形相似的判定与性质：平行于三角形一边的直线与其他两边所截的三角形与原三角形相似；相似三角形的对应边的比相等；相似三角形面积的比等于相似比的平方．也考查了分类讨论的思想的运用以及三角形和梯形的面积公式．