Question

19．已知EF∥MN，一直角三角板如图放置．∠ACB=90°．
（1）如图1，若∠1=60°，则∠2=30度；
（2）如图2，若∠1=∠B-20°．则∠2=20度；
（3）如图3，延长AC交直线MN于D，GH平分∠CGN，DK平分∠ADN交GH于K，问∠GKD是否为定值，若是求值，不是说明理由．

Answer 1

分析 （1）过C作CP∥EF，进而得到EF∥MN∥CP，根据平行线的性质，即可得出∠2的度数；
（2）过B作BQ∥EF，进而得到EF∥MN∥BQ，根据平行线的性质，即可得到∠2的度数；
（3）先根据∠CGN是△CDG的外角，得到∠DCG=∠CGN-∠ADG，再根据GH平分∠CGN，DK平分∠ADN，即可得出∠KGN=$\frac{1}{2}$∠CGN，∠KDG=$\frac{1}{2}$∠ADG，最后根据∠KGN是△KDG的外角，且∠ACB=90°，即可得到∠GKD=∠KGN-∠KDG=$\frac{1}{2}$∠CGN-$\frac{1}{2}$∠ADG=$\frac{1}{2}$∠DCG，根据∠DCG的度数不变，可得∠GKD为定值45°．

解答 解：（1）如图1，过C作CP∥EF，
∵EF∥MN，
∴EF∥MN∥CP，
∴∠1=∠ACP=60°，
又∵∠ACB=90°，
∴∠BCP=90°-60°=30°，
∵CP∥MN，
∴∠2=∠BCP=30°；
故答案为：30；

（2）如图2，过B作BQ∥EF，
∵EF∥MN，
∴EF∥MN∥BQ，
∴∠1=∠ABQ，∠2=∠CBQ，
∴∠1+∠2=∠ABC，
又∵∠1=∠ABC-20°，
∴∠1+20°=∠ABC，
∴∠2=20°；
故答案为：20；

（3）∠GKD为定值45°．
理由：如图3，∵∠CGN是△CDG的外角，
∴∠DCG=∠CGN-∠ADG，
∵GH平分∠CGN，DK平分∠ADN，
∴∠KGN=$\frac{1}{2}$∠CGN，∠KDG=$\frac{1}{2}$∠ADG，
∵∠KGN是△KDG的外角，且∠ACB=90°，
∴∠GKD=∠KGN-∠KDG=$\frac{1}{2}$∠CGN-$\frac{1}{2}$∠ADG=$\frac{1}{2}$（∠CGN-∠ADG）=$\frac{1}{2}$∠DCG=$\frac{1}{2}$×90°=45°，
故∠GKD为定值45°．

点评 本题主要考查了平行线的性质以及三角形外角性质的运用，解题时注意：两直线平行，内错角相等．解决第（3）问时，需要运用：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．