Question

抛物线y=x²-4x+k与x轴交于A、B两点（点B在点A的右侧），与y轴交于点C（0，6），动点P在该抛物线上．
（1）求k的值；
（2）当△POC是以OC为底的等腰三角形时，求点P的横坐标；
（3）如图，当点P在直线BC下方时，记△POC的面积为S₁，△PBC的面积为S₂．试问S₂-S₁是否存在最大值？若存在，请求出S₂-S₁的最大值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）⊙抛物线y=x²-4x+k经过点C（0，6）
∴×0²-4×0+k=6
解得k=6；

（2）如图1，过OC的中点D作y轴的垂线，当△POC是以OC为底的等腰三角形时，由OD=×6=3可知，点P的纵坐标为3．
由（1）可知，抛物线的解析式为y=x²-4x+6，
令y=3得x²-4x+6=3，解得x=4
∴点P的横坐标为4；

（3）∵由（1）可知，抛物线的解析式为y=x²-4x+6
令x=0，得y=6；令y=0，得x²-4x+6=0，
解得 x₁=2，x₂=6．
∴点A、B、C坐标分别为（2，0）、（6，0）、（0，6），则OA=2，OB=OC=6
设点P为（m，m²-4m+6），当点P在直BC下方时0＜m＜6，
过点P作PE⊥y轴于E，作直PG⊥x轴于G．
当2≤m＜6时，如图2，
PE=m，PG=m²+4m-6，S₂=S_{四边形COPB}-S_△POC，
∵S_{四边形COPB}=S_△BOC+S_△POB=×OB×（OC+PG）=-m²+12m，
2S₁=OC×PE=6
∴S₂-S₁=S_{四边形COPB}-2S₁
=-+12m-6m=-m²+6m；
当0＜m＜2时，如图3．
PE=m，PG=m²+4m-6，S₂=S_△BOC+S_△POB-S₁
同理可求S₂-S₁=-m²+6m
综上所述，当0＜m＜6时，S₂-S₁=-m²+6m=-（m-2）²+6．
∵抛物线S₂-S₁=-（m-2）²+6的开口方向向下，
∴当m=2时，它有最大值．
∵m=2满足0＜m＜6，
∴当m=2时，S₂-S₁存在最大值6．
分析：（1）把点C的坐标代入已知函数解析式y=x²-4x+k来求k的值；
（2）利用等腰三角形的“三合一”性质可知，点P是线段OC的垂直平分线与抛物线的交点；
（3）需要分类讨论，如图2、图3，根据点P所处的位置不同，可求得S₂-S₁=-m²+6m=-（m-2）²+6，然后由抛物线的开口方向，顶点坐标可以求得它的最值．
点评：本题综合考查了等腰三角形的性质、待定系数法求二次函数解析式以及三角形面积的求法．解答（2）题时，一定要分类讨论，以防漏解或错解．