Question

8．如图，正方形ABCD中，AB=4，E为AD中点，连接CE，F为CE上一点，且CF=$\sqrt{5}$+1，过点F作FG⊥CE交AB于G，连接DF，将△CDF沿着CE翻折得到△CHF，CH与FG相交于M，连接GH，则四边形CHGB的面积为5+$\frac{\sqrt{5}}{5}$．

Answer 1

分析 如图，作KL⊥AD于L，HN⊥AB于N，延长FG交CB的延长线于P，连接AH、EH、DH，EC与DH交于点K．首先证明△AHD是直角三角形，EK是△ADH的中位线，根据四边形CHGB的面积=正方形ABCD的面积-四边形DEHC的面积-△AHE的面积-△AHG的面积，求出相关线段即可解决问题．

解答 解：如图，作KL⊥AD于L，HN⊥AB于N，延长FG交CB的延长线于P，连接AH、EH、DH，EC与DH交于点K．

∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADC=∠ABC=∠PBG=90°，
在Rt△DEC中，EC=$\sqrt{C{D}^{2}+D{E}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∵△HCF是由△FCD翻折得到，
∴DE=EH=AE，EC⊥DH，
∴∠AHD=90°
∵$\frac{1}{2}$•DE•DC=$\frac{1}{2}$•EC•DK，
∴DK=KH=$\frac{4}{\sqrt{5}}$，
在Rt△DEK中，EK=$\sqrt{D{E}^{2}-D{K}^{2}}$=$\frac{2}{\sqrt{5}}$，
∵AE=DE，DK=HK，
∴AH=2EK=$\frac{4}{\sqrt{5}}$，
∵∠HAL=∠DAH，∠ALH=∠AHD，
∴△ALH∽△AHD，
∴AH²=AL•AD，
∴AL=HN=$\frac{A{H}^{2}}{AD}$=$\frac{4}{5}$，
在Rt△ALH中，HL=$\sqrt{A{H}^{2}-A{L}^{2}}$=$\frac{8}{5}$，
∵△DCE∽△FPC∽△BPG，
∴$\frac{DE}{CD}$=$\frac{CF}{PF}$=$\frac{BG}{PB}$=$\frac{1}{2}$，
∵CF=1+$\sqrt{5}$，
∴PF=2+2$\sqrt{5}$，
PC=$\sqrt{5}$CF=5+$\sqrt{5}$，
∴PB=PC-BC=1+$\sqrt{5}$，
∴BG=$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$，AG=AB-BG=$\frac{7-\sqrt{5}}{2}$，
∴四边形CHGB的面积=正方形ABCD的面积-四边形DEHC的面积-△AHE的面积-△AHG的面积
=16-2•$\frac{1}{2}$•4•2-$\frac{1}{2}$•2•$\frac{8}{5}$-$\frac{1}{2}$$\frac{7-\sqrt{5}}{2}$•$\frac{4}{5}$=5+$\frac{\sqrt{5}}{5}$．
故答案为5+$\frac{\sqrt{5}}{5}$．

点评 本题考查翻折变换、正方形的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用分割法求面积，是由中考填空题中的压轴题．