Question

（2012•顺义区一模）如图，菱形ABCD中，AB=2，∠C=60°，我们把菱形ABCD的对称中心称作菱形的中心．菱形ABCD在直线l上向右作无滑动的翻滚，每绕着一个顶点旋转60°叫一次操作，则经过1次这样的操作菱形中心O所经过的路径长为

3

3

π

；经过18次这样的操作菱形中心O所经过的路径总长为

(4

3

+2)π

；经过3n（n为正整数）次这样的操作菱形中心O所经过的路径总长为

2 3 +1

3

nπ

．（结果都保留π）

Answer 1

分析：从图中可以看出，第一次旋转是以点A为圆心，那么菱形中心旋转的半径就是OA，解直角三角形可求出OA的长，圆心角是60度．第二次还是以点A为圆心，那么菱形中心旋转的半径就是OA，圆心角是60度．第三次就是以点B为旋转中心，OB为半径，旋转的圆心角为60度．旋转到此菱形就又回到了原图．故这样旋转18次，就是这样的6个弧长的总长，依此计算即可得，进而得出经过3n（n为正整数）次这样的操作菱形中心O所经过的路径总长．

解答：解：∵菱形ABCD中，AB=2，∠C=60°，
∴△ABD是等边三角形，
BO=DO=1，
AO=

AD2-DO2

=

3

，
第一次旋转的弧长=

60π× 3

180

=

3

3

π，
∵第一、二次旋转的弧长和=

60π× 3

180

+

60π× 3

180

=

3

3

π+

3

3

π=

2 3

3

π，
第三次旋转的弧长为：

60π×1

180

=

π

3

∵18÷3=6，
故中心O所经过的路径总长=6（

2 3

3

π+

π

3

）=（4

3

+2）π，
故经过3n（n为正整数）次这样的操作菱形中心O所经过的路径总长为：n×（

2 3

3

π+

π

3

）=

2 3 +1

3

nπ．
故答案为：

3

3

π，（4

3

+2）π，

2 3 +1

3

nπ．

点评：本题主要考查了弧长的计算公式以及菱形的性质，根据已知得出菱形每转动3次一循环进而得出经过路径是解题的关键．